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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 21.08.2006 | | Autor: | magister |
| Aufgabe | | Der Parabel y² = 2px ist jenes flächengrößte endliche Rechteck einzuschreiben, dessen eine Seite auf der Achsennormalen durch F liegt. Berechne seinen Flächeninhalt! |
Mir ist klar, dass F der Brennpunkt sein muß.
Mir ist klar, dass die Parabel in 1. Hauptlage liegt.
Mir ist klar, dass die Achsennormale duch F eine Gerade parallel zu y ist ?!
Sind obige Annahmen richtig und handelt es sich um das Rechteck zwischen Scheitel S(0/0) und Fußpunkt?? Wie kriege ich den Fußpunkt?
Bitte um HIlfe
Vielen Dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:15 Mi 23.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo magister,
> Mir ist klar, dass F der Brennpunkt sein muß.
Davon gehe ich auch aus.
> Mir ist klar, dass die Parabel in 1. Hauptlage liegt.
ja.
> Mir ist klar, dass die Achsennormale duch F eine Gerade parallel zu y ist ?!
Ja. Korrekter formuliert: zur y-Achse. Ähnlich wie bei waagerechten Geraden (z.B. $y=5$) schreibt man Senkrechte z.B. als $x=4$.
Wenn der Brennpunkt F die Koordinaten [mm] $(\bruch{p}{2}|0)$ [/mm] hat, also die Gerade [mm] $x=\bruch{p}{2}$.
[/mm]
Für z.B. $p=2$ also [mm] $y^2 [/mm] = 4*x$ sähe das dann etwa so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] $\Rightarrow [/mm] F\ (1|0)$
> Sind obige Annahmen richtig und handelt es sich um das
> Rechteck zwischen Scheitel S(0/0) und Fußpunkt?? Wie kriege
> ich den Fußpunkt?
Was meinst Du mit "Fußpunkt"?
Der Brennpunkt F ergibt sich daraus, dass er definitionsgemäß vom Scheitelpunkt die Entfernung [mm] $\bruch{p}{2}$ [/mm] hat.
Die linken Ecken des Rechteckes (in der Zeichnung blau & grün eingerahmt) liegen auf der Parabel, haben also die Koordinaten [mm] $(x|\pm\wurzel{2px})$ [/mm] (im Beispiel $(0,25|1)$). Das Rechteck hat also die Höhe [mm] $2*\wurzel{2px}$ [/mm] und die Breite [mm] $\bruch{p}{2} [/mm] - x$, da die Breite sich ja als Differenz aus den x-Koordinaten der senkrechten Gerade und der linken Eckpunkte ergibt.
Im Extremfall, wenn die Ecken ganz links im Scheitelpunkt zusammenrutschen, erhält man ein "Rechteck" mit Flächeninhalt Null. Wenn die Ecken dann nach rechts auseinanderutschen, wird die Fläche des Rechteckes zunächst größer, dann wieder kleiner bis die Ecken direkt ober-/unterhalb des Brennpunktes liegen. Nun also wieder Flächeninhalt Null. Wenn die Ecken jetzt weiter nach rechts rutschen, wird der Flächeninhalt nun immer größer bis ins Unendliche. Das lässt sich freilich nicht mehr berechnen. Gesucht ist also offenkundig das größtmögliche Rechteck links vom Brennpunkt. Darauf bezieht sich meines Erachtens jene Bemerkung "flächengrößte endliche...".
Die allgmeine Formel für den Flächeninhalt dieses Rechteckes (in Abhängigkeit z.B. von der x-Koordinate der linken Ecken) solltest Du jetzt aufstellen können.
Kommst Du dann auch weiter, bei der Ermittlung des Maximums dafür (klassische Extremwertaufgabe: 1. Ableitung etc.)?
Schöne Grüße,
ardik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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