extremwerte auf dem rand < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 05.08.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | [mm] x^{2} [/mm] +2xy -4x+8y im Rechteck 0<x<1, 0<y<2 |
im Inneren gibt es keine Extrema, die Menge ist meines wissens kompakt und mit Weierstraß muss es ein Min und ein Max geben!
als einzige Methode fällt mir ein, die variablen abwechselnd festzuhalten
mit x=0
f(0,y) erhalte ich 8y
und abgeleitet: fy= 8=0 not!
mit x=1
f(1,y) 1+2y-4+8y
fy=10=0 not!
halte ich y fest
y=0
[mm] f(x,0)=x^2-4x
[/mm]
fx=2x-4=0 -> x=2 außerhalb Def.
y=2
[mm] f(x,2)=x^2+4x-4x+16
[/mm]
fx=2x=0 x=0
wäre der erste extremwert der OK ist (0,2).
leider scheint alles falsch zu sein und ich bin verzweifelt!! was mache ich denn falsch??
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Hallo domerich,
> [mm]x^{2}[/mm] +2xy -4x+8y im Rechteck 0<x<1, 0<y<2
> im Inneren gibt es keine Extrema, die Menge ist meines
> wissens kompakt und mit Weierstraß muss es ein Min und ein
> Max geben!
>
> als einzige Methode fällt mir ein, die variablen
> abwechselnd festzuhalten
>
> mit x=0
> f(0,y) erhalte ich 8y
> und abgeleitet: fy= 8=0 not!
>
> mit x=1
> f(1,y) 1+2y-4+8y
> fy=10=0 not!
>
>
> halte ich y fest
>
> y=0
> [mm]f(x,0)=x^2-4x[/mm]
> fx=2x-4=0 -> x=2 außerhalb Def.
>
> y=2
> [mm]f(x,2)=x^2+4x-4x+16[/mm]
> fx=2x=0 x=0
>
> wäre der erste extremwert der OK ist (0,2).
>
> leider scheint alles falsch zu sein und ich bin
> verzweifelt!! was mache ich denn falsch??
>
Schreibe die obige Funktion als Summe/Differenz von Quadraten,
so daß Du nachher die Gestalt
[mm]u^{2}-v^{2}+k, \ k \in \IR[/mm]
hast.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 05.08.2009 | | Autor: | domerich |
hallo, ich weiß nicht ganz was du meinst.
welche funktion, die ganz oben oder die f(0,y) und (x,0)?
aus [mm] x^2-4x [/mm] konnte ich machen x(x-4)
[mm] x^2+16 [/mm] ist mir nicht wirklich gelungen
ein ansatz war (x+4)(x-4)
oder [mm] (x+4)^2-4x
[/mm]
kannst du mir bitte etwas mehr helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mi 05.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die urspruengliche fkt [mm] f(x,y)=(x+ay+b)^2+(y+c)^2+d [/mm] umschreiben
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 05.08.2009 | | Autor: | domerich |
das kann ich überhaupt nicht, wo kann ich nachlesen wo das geht, wie heißt das thema?
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Hallo domerich,
> das kann ich überhaupt nicht, wo kann ich nachlesen wo das
> geht, wie heißt das thema?
Das läuft unter quadratischer Ergänzung.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mi 05.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist wieder der Rand, den du nicht beachtet hast.
> [mm]x^{2}[/mm] +2xy -4x+8y im Rechteck 0<x<1, 0<y<2
> im Inneren gibt es keine Extrema, die Menge ist meines
> wissens kompakt und mit Weierstraß muss es ein Min und ein
> Max geben!
>
> als einzige Methode fällt mir ein, die variablen
> abwechselnd festzuhalten
das ist richtig, weil das ja jeweils Randstuecke sind
> mit x=0
hier fehlt: und [mm] 0\le y\le [/mm] 2
> f(0,y) erhalte ich 8y
> und abgeleitet: fy= 8=0 not!
kein inneres max, aber auf dem Rand Min bei y=0 max bei y=2
> mit x=1
wie oben Rand fehlt
> f(1,y) 1+2y-4+8y
f=10y-4 max bei y=2 Min bei y=0
> fy=10=0 not!
>
>
> halte ich y fest
>
> y=0
und wieder rand [mm] 0\lex\le1
[/mm]
> [mm]f(x,0)=x^2-4x[/mm]
Rand: f(0)=0 max f(1)=-3 min
> fx=2x-4=0 -> x=2 außerhalb Def.
>
> y=2
Rand !
> [mm]f(x,2)=x^2+4x-4x+16[/mm]
> fx=2x=0 x=0
>
> wäre der erste extremwert der OK ist (0,2).
>
> leider scheint alles falsch zu sein und ich bin
> verzweifelt!! was mache ich denn falsch??
selbst wenn du ein max oder Min in dem Gebiet findest, musst du noch die Randpunkte ueberpruefen!
(Das nur neben dem Hinweis von mathepower, dass es auch ohne Differentialrechnung geht, du kannst jeweils beides machen um zu ueben und deine Ergebnisse zu bestaetigen.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 05.08.2009 | | Autor: | domerich |
zum ersten fall:
"kein inneres max, aber auf dem Rand Min bei y=0 max bei y=2"
also wenn ich das richtig sehe ist trotzdem die gleichung
f(0,y)=8y
und f'=8 != 0 was ein widerspruch erstmal ist.
was denke ich mir jetzt an der stelle? das du auf die idee kommst y=2 einzusetzen? kannst du mir das bitte erklären?
die nebenbedingung 0<y<2 ändert ja an meiner rechnung erstmal nix, wo ich ja nur y festhalte und nix gescheits rauskommt.
ist deine folgerung wenn nix raus kommt, setzte ich einfach mal die randstellen von y€[0,2] ein?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mi 05.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst doch das max von f(y)=8y auf dem Gebiet [mm] 0\ley\le2
[/mm]
du kannst ohne differenzieren sehen, dass ne gerade kein relatives Max hat. aber auch, dass sie einen maximalen wert auf dem rand, naemlich bei y=2 und einen minimalen bei y=0 hat.
Wenn dein Einkommen in Abhaengigkeit von der Zeit t in Jahren
E(t)=8000*t fuer den Bereich t=0y bis t=12y gilt, wann hast du dann das groesste, wann das kleinste Einkommen? Das kann dir jeder ohne Mathe sagen.
Ueberleg mal: wo hat y=2x-12 im Gebiet [mm] -8\lex\le [/mm] +5 sein max und sein Min? differenzierst du da?
wo hat [mm] y=x^2-2 [/mm] im gebiet [mm] -3\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 sein max, wo sein Min?
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 05.08.2009 | | Autor: | domerich |
ah das ist ne gerade! mein microsoft mathe sagt error bei y=8y
ist ne gerade nicht definiert z.b. x=8y? kapier ich nicht ganz. man hat ja eher f(x)=ax und net f(y)=ay
aber sonst hab ichs ganz gut kapiert.
sag mal muss ich das mit den randpunkten nur einsetzten wenn ich hier so ne gerade hab? weiter unten kam ja was raus, z.b. 2x=0 mit dem ich weiter rechnen konnte und so auf FW 16 kam. setzte ich auch hier bei
f(x,2) x€[0,1] noch extra f(0,2) und f(1,2) oder nur wenn ich eine gerade hab wo kein relatives max/min hat?
sonst super erklärung danke!
zu deinen übungsaufgaben:
y=2x-12
das ist eine gerade mit posiviter steigung also hat man für kleinere x werte kleinere funktionswerte. also ist -8 ein Min und 5 ein max auf dem gebiet? differenzieren geht ja nicht ;)
[mm] y=x^2-2 [/mm] könnte ich differenzieren. aber ich schaue mal wo der term klein wird. minuend soll klein werden und subtrahend groß hab ich gestern gelernt. da x 2. ordung wird ist 0 der kleinste wert. daher würde ich sagen dass bei x=0 das minimum ist. die grenzen kann ich nicht direkt sehen also setzte ich ein
f(-3)= 9-2=7
f(5)=25-2=23 also hab ich bei x=5 mein maximum im def.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 05.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht doch nicht y=8y das waer ne Gleichung, die du nicht ableiten koenntest. sondern f(0,y)=8y oder z=8y
die max und min der Uebung hast du richtig.
wenn du im gebiet ein max oder min hast, kann immer noch die fkt auf dem Rand groesser sein, also musst du wenn du absolute max suchst immer auch noch die Raender ansehen. Betrachte etwa [mm] f(x)=x^3-6x [/mm] in [mm] -4\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4 und suche die absoluten Min und Max.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 06.08.2009 | | Autor: | domerich |
das leuchtet ein, hatte ich eigentlich schon in mathe 1 :/ danke aber
so deine übungsaufgabe
durch ableiten kam ich auf die punkte
(-sqrt(2), -8sqrt(2)) FW=- 8sqrt(2)
sowie
(sqrt(2),-4sqrt(2)) FW= -4sqrt(2)
für Randextrema hab ich dann raus
f(-4): -40 -> min
f(4)=40 -> max
stimmts?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 06.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig gerechnet, ich hoff du hast was draus gelern. Hier gibt es zwar rel. Mininmum und max im Inneren des Gebietes, aber sowohl abs. Min wie abs. Max liegen auf dem Rand.
eben wie bei deinem einfachen beispiel f(y)=8y, nur dass es da im Inneren kein rel, Extr. gibt.
gruss leduart
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