f-invariante Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Bin gerade bei folgender Aufgabe und komme nicht so recht weiter:
Geben Sie eine lineare Abbildung f : [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] an, die einen f-invarianten Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] zulässt, der keinen komlementären f-invarianten Unterraum besitzt.
Überlegt habe ich mir schon, dass die Darstellungsmatrix zu f folgendermaßen aussehen könnte:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 2 } [/mm] denn es darf ja nicht oben rechts UND unten links eine Null stehen, oder?
Nun weiß ich aber gar nicht so genau, welchen Unterraum f dann zulässt (ist das wieder [mm] \IR^{2} [/mm] ?). Und wie stelle ich dann fest, dass dieser Unterraum f-invariant ist und dass er keinen komplementären f-invarianten Unerraum besitzt?
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Hallo!
In deinem Beispiel hat die Matrix die Eigenwerte $1$ und $2$. Dann sind die Eigenräume komplementäre, invariante Unterräume.
Außerdem hast du recht: Wenn die Matrix Diagonalgestalt hat, klappt's auf keinen Fall.
Nimm aber z.B. die Matrix [mm] $A:=\pmat{0&1\\0&0}$. [/mm] Setze [mm] $U:=\mathrm{span}\,\left\{\vektor{1\\0}\right\}$. [/mm] Weil dieser Vektor ein Eigenvektor von $A$ ist, ist $U$ invariant, d.h. [mm] $A(U)\subseteq [/mm] U$.
Jetzt wähle einen beliebigen Vektor [mm] $\vektor{x\\y}\in\IR^2$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $A\vektor{x\\y}=\vektor{y\\0}$. [/mm] Also liegt [mm] $A\vektor{x\\y}\in [/mm] U$! Deshalb kann es keinen komplementären invarianten Unterraum geben.
Gruß, banachella
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