f.a. gleich einer stetigen Fkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich frage mich gerade, ob die Funktion
[mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=\begin{cases}0, & x\leq 3\\1, & x>3\end{cases}$
[/mm]
fast überall gleich einer stetigen Funktion ist. |
Wahrscheinlich ist das ganz leicht zu beantworten, indem man eine stetige Funktion $g$ angibt, mit der $f$ fast überall übereinstimmt. Ich habe gerade wohl Tomaten vor den Augen, denn ich sehe keine solche Funktion g.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 08.08.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich frage mich gerade, ob die Funktion
>
> [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=\begin{cases}0, & x\leq 3\\1, & x>3\end{cases}[/mm]
>
> fast überall gleich einer stetigen Funktion ist.
>
> Wahrscheinlich ist das ganz leicht zu beantworten, indem
> man eine stetige Funktion [mm]g[/mm] angibt, mit der [mm]f[/mm] fast überall
> übereinstimmt. Ich habe gerade wohl Tomaten vor den Augen,
> denn ich sehe keine solche Funktion g.
Hallo,
was passiert denn, wenn du f(x) dahingehend abänderst, dass du den Fall x=3 aus dem Definitionsbereich ausschließt?
Gruß Abakus
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Hm, stimmt. Wenn ich diese abgeänderte Funktion mal g nenne, dann habe ich eine stetige Funktion g gefunden, mit der f fast überall (nämlich bis auf die Lebesgue-Nullmenge [mm] $\left\{3\right\}$ [/mm] übereinstimmt.
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Hintergrund meiner Frage ist folgende Aufgabe:
"Sei [mm] $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. [/mm] Sind dann die Aussagen (a) und (b) äquivalent?
(a) $f$ ist fast überall stetig.
(b) $f$ ist fast überall gleich einer stetigen Funktion."
Ich meinte eben mit meiner Funktion ein Gegenbeispiel gefunden zu haben, aber das war wohl nichts.^^
Denn meine Funktion ist sowohl fast überall stetig als auch fast überall gleich einer stetigen Funktion.
Gibts denn ein Gegenbeispiel - ein möglichst einfaches?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:23 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hm, stimmt. Wenn ich diese abgeänderte Funktion mal g
> nenne, dann habe ich eine stetige Funktion g gefunden, mit
> der f fast überall (nämlich bis auf die
> Lebesgue-Nullmenge [mm]\left\{3\right\}[/mm] übereinstimmt.
>
> - - - - -
>
> Hintergrund meiner Frage ist folgende Aufgabe:
>
> "Sei [mm]f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/mm]. Sind dann die
> Aussagen (a) und (b) äquivalent?
>
> (a) [mm]f[/mm] ist fast überall stetig.
>
> (b) [mm]f[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist fast überall gleich einer stetigen Funktion."
>
>
> Ich meinte eben mit meiner Funktion ein Gegenbeispiel
> gefunden zu haben, aber das war wohl nichts.^^
>
> Denn meine Funktion ist sowohl fast überall stetig als
> auch fast überall gleich einer stetigen Funktion.
>
>
> Gibts denn ein Gegenbeispiel - ein möglichst einfaches?
mach' es doch so:
"$(a) \Rightarrow (b):$" Sei $f \colon \IR^n \to \IR$ fast überall stetig. Sei $U\,$ die Menge
der Unstetigkeitspunkte von $f\,.$ Dann gilt... Definiere $g:=\left.f\right|_{\IR^n \setminus U} \colon \IR^n \setminus U \to \IR$.
...
"$(b) \Rightarrow (a):$" Sei $f \colon \IR^n \to \IR$ und sei $g \colon \IR^n \supseteq D_g \to \IR$ stetig und es gelte
$f=g\,$ fast überall - insbesondere muss $\IR^n \setminus D_g$ eine Lebesguesche
Nullmenge sein. Definiere $Diff:=\{x \in D_g \subseteq \IR^n:\;\;f(x) \not=g(x)\}.$
Betrachte nun für die Teilmenge $D_g \setminus Diff$ von $f\,$ die Menge der zugehörigen
Unstetigkeitspunkte...
P.S. Es wäre vielleicht gut, wenn Du Eure Begriffe von "fast überall" und
"Nullmengen" nachliefern würdest - denn ich könnte mir auch vorstellen,
dass man von gewissen Mengen hier "Messbarkeit" haben will. Eventuell
müßte man sich dann "mehr" Gedanken machen - jedenfalls vielleicht bei
der Menge "$Diff\,$" oben. Soweit ich mich richtig erinnere, ist die Menge
der Stetigkeitspunkte einer Funktion stets messbar.
P.P.S. Vielleicht kann man, wenn man sich "mehr" Gedanken machen müßte
(siehe P.S.) einfach
$h \colon \IR^n \to \IR$
mit $\left.h\right|_{D_g}=\left.f\right|_{D_g}-g$ und $\left.h\right|_{\IR^n \setminus D_g}=0$ definieren und dann $NV:=\{x \in \IR^n:\;\;h(x) \not= 0\}$ betrachten.
Denn bzgl. $\left.h\right|_{D_g \setminus NV}$ kann man sich mal die Menge zugehöriger (Un-)Stetigkeitspunkte
angucken...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Fr 09.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hm, stimmt. Wenn ich diese abgeänderte Funktion mal g
> nenne, dann habe ich eine stetige Funktion g gefunden, mit
> der f fast überall (nämlich bis auf die
> Lebesgue-Nullmenge [mm]\left\{3\right\}[/mm] übereinstimmt.
>
> - - - - -
>
> Hintergrund meiner Frage ist folgende Aufgabe:
>
> "Sei [mm]f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/mm]. Sind dann die
> Aussagen (a) und (b) äquivalent?
>
> (a) [mm]f[/mm] ist fast überall stetig.
>
> (b) [mm]f[/mm] ist fast überall gleich einer stetigen Funktion."
Für mich stellt sich die Frage, wie (b) eigentlich gemeint ist !
Variante 1( so haben es Abakus und Marcel aufgefasst):
[mm] (b_1) [/mm] es ex. eine nichtleere Teilmenge D des [mm] \IR^n [/mm] und eine stetige Funktion $g:D [mm] \to \IR$ [/mm] mit: f=g fast überall auf D,
oder
Variante 2:
[mm] (b_2) [/mm] es ex. eine stetige Funktion [mm] $g:\IR^n \to \IR$ [/mm] mit: f=g fast überall auf [mm] \IR^n.
[/mm]
Nehmen wir uns mal irgendeine (!) Funktion [mm] $f:\IR^n \to \IR$ [/mm] her. Weiter sei [mm] x_0 [/mm] irgendein Punkt im [mm] \IR^n [/mm] und [mm] D:=\{x_0\}.
[/mm]
Dann def. wir $g:D [mm] \to \IR$ [/mm] durch [mm] g(x_0):=f(x_0). [/mm] Trivialerweise ist g auf D stetig und esd gilt f=g auf D (f.ü.). Es gilt also [mm] (b_1) [/mm] und f durfte irgendeine Funktion sein !
(a) und [mm] (b_1) [/mm] sind also nicht äquivalent.
Zu [mm] (b_2):
[/mm]
Sei n=1 und [mm] f:=1_{\IQ}. [/mm] f ist in keinem Punkt stetig. Es ist aber f=0 f.ü.. f stimmt also f.ü. mit der Nullfunktion überein.
(a) und [mm] (b_2) [/mm] sind also nicht äquivalent.
FRED
>
>
> Ich meinte eben mit meiner Funktion ein Gegenbeispiel
> gefunden zu haben, aber das war wohl nichts.^^
>
> Denn meine Funktion ist sowohl fast überall stetig als
> auch fast überall gleich einer stetigen Funktion.
>
>
> Gibts denn ein Gegenbeispiel - ein möglichst einfaches?
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Es ist Variante 2 gemeint.
Wie ist es dann mit meiner Funktion
[mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=\begin{cases}0, & x\leq 3\\1, & x>3\end{cases}$?
[/mm]
Ist sie bei Variante 2 fast überall identisch einer stetigen Funktion?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 09.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es ist Variante 2 gemeint.
>
> Wie ist es dann mit meiner Funktion
>
> [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=\begin{cases}0, & x\leq 3\\1, & x>3\end{cases}[/mm]?
>
> Ist sie bei Variante 2 fast überall identisch einer
> stetigen Funktion?
Nein.
Es gilt folgendes
LEMMA: Ist I eine Intervall in [mm] \IR [/mm] und ist h:I [mm] \to \IR [/mm] stetig und ist h=0 f.ü. auf I, so ist h(x)=0 in jedem x [mm] \in [/mm] I.
Kannst Du das beweisen ?
Zu Deiner Frage:
Wir nehmen an, es gäbe ein stetiges [mm] g:\IR \to \IR [/mm] mit f=g f.ü. auf [mm] \IR.
[/mm]
Wir setzen h:=f-g. Dann ist h=0 f.ü. auf [mm] \IR.
[/mm]
Auf ( - [mm] \infty,3] [/mm] ist h stetig. Damit ist nach obigem Lemma h=0 auf ( - [mm] \infty,3] [/mm] , also
f=g auf ( - [mm] \infty,3].
[/mm]
Auf (3, [mm] \infty) [/mm] ist h stetig. Damit ist nach obigem Lemma h=0 auf (3, [mm] \infty) [/mm] , also
f=g auf (3, [mm] \infty).
[/mm]
Fazit: f=g auf [mm] \IR. [/mm] Das widerspricht aber der Stetigkeit von g.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Es ist Variante 2 gemeint.
> >
> > Wie ist es dann mit meiner Funktion
> >
> > [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=\begin{cases}0, & x\leq 3\\1, & x>3\end{cases}[/mm]?
>
> >
> > Ist sie bei Variante 2 fast überall identisch einer
> > stetigen Funktion?
>
> Nein.
>
> Es gilt folgendes
>
> LEMMA: Ist I eine Intervall in [mm]\IR[/mm] und ist h:I [mm]\to \IR[/mm]
> stetig und ist h=0 f.ü. auf I, so ist h(x)=0 in jedem x
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I.
>
> Kannst Du das beweisen ?
vielleicht mal ein Hinweis dazu, der das Ganze erstmal "analytischer" macht:
Ist $f \colon I \to \IR$ stetig in $x_0$ mit $f(x_0) \not=0,$ so existiert eine $\delta$-Umgebung von $x_0$ derart,
dass $|f(x)| \;\;\ge\;\; \frac{|f(x_0)|}{2}$ für alle $x \in U_{\delta}(x_0)=\{x \in I:\;\; |x-x_0| < \delta\}=(x_0-\delta,\;x_0+\delta) \cap I.$ (Dabei $\delta > 0$.)
Hinweis zum Beweis dieser Aussage:
Man betrachte etwa $\epsilon:=|f(x_0)|/2$ (oder ein $\epsilon$ mit $0 \;\;<\;\; \epsilon \;\;\le\;\; |f(x_0)|/2$) und benutze
die Stetigkeit von $f\,$ in $x_0.$
Daraus folgt dann: $\left.f\right|_{U_{\delta}(x_0)}$ hat keine Nullstellen! Nun überlege
man sich, welches Lebesguemaß $U_{\delta}(x_0)$ hat!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 09.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Variante 1( so haben es Abakus und Marcel aufgefasst):
>
> [mm](b_1)[/mm] es ex. eine nichtleere Teilmenge D des [mm]\IR^n[/mm] und eine
> stetige Funktion [mm]g:D \to \IR[/mm] mit: f=g fast überall auf
> D,
ich hatte da tatsächlich noch mehr reininterpretiert: Aus [mm] $f=g\,$ [/mm] fast überall habe
ich die Zusatzinformation gefiltert, dass wohl [mm] $\IR^n \setminus [/mm] D$ eine Nullmenge
sein sollte. Denn für $x [mm] \in \IR^n \setminus [/mm] D$ machte für mich der Vergleich $f(x)=g(x)$
keinen Sinn, und man kann dann aber [mm] $g\,$ [/mm] dennoch auf [mm] $\IR^n \setminus [/mm] D$ fortsetzen
und dann aber eine fortgesetzte Funktion $g [mm] \colon \IR^n \to \IR$ [/mm] betrachten.
(Deren Menge der Unstetigkeitspunkte ist dann eine Nullmenge!)
Aber gut: Da habe ich wohl ein paar zu viele Zusatzinformationen
reininterpretiert!
Gruß,
Marcel
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