f.s. Konv. => stoch. Konv. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 So 08.02.2009 | | Autor: | Fusel |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey, ich lerne gerade für meine Stochastik-Klausur am Dienstag..
Ich verstehe unseren Beweis für
"Fast sichere Konvergenz" impliziert "stochastische Konvergenz"
nicht..
"Fast sichere Konvergenz: [mm] P[\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]=1
=> [mm] P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] [mm] \ge P[\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]=1
Wegen der Monotonie haben wir weiter:
1= [mm] P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} P[\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] für alle k.
Wir können [mm] k^{-1} [/mm] durch [mm] \varepsilon [/mm] ersetzen.
=>
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} P[|X_m [/mm] -X| [mm] \le \varepsilon] \ge \limes_{m\rightarrow\infty} P[\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] = 1
Dies ist die stochastische Konvergenz."
Ich versteh einfach nicht warum
[mm] P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} P[\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] gilt...
kann mir das vielleicht jemand klar machen? Würd mich freuen
In einer anderen Aufgabe ist ein Teilschritt:
[mm] P[\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{i \ge n} [/mm] { |1/i * [mm] Y_i-1| [/mm] < [mm] k^{-1} [/mm] }]=1
=>
[mm] P[\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] { |1/n * [mm] Y_n-1| [/mm] =0 }]=1
Versteh ich leider auch nicht :(
Würde mich super freuen, wenn mir jemand helfen kann :)
Viele liebe Grüße,
Fusel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Mo 09.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
betrachten wir es doch mal so rum:
bei fast sicherer Konvergenz gilt:
[mm]\mu(\{\limes_{n\rightarrow\infty}sup|X_n - X| > \epsilon \} = \mu(\limes_{n\rightarrow\infty}sup\{|X_n - X| > \epsilon \} = \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(\bigcup_{k \ge n}^{}\{|X_k - X| > \epsilon\}) = 0[/mm]
zweites = der Gleichung folgt, da
[mm]\mu(\bigcup_{k \ge n}^{}\{|X_k - X| > \epsilon\}) = \summe_{k=n}^{\infty} \mu(\{|X_k - X| > \epsilon\}) - \mu(\bigcap_{k \ge n}^{}\{|X_k - X| > \epsilon\})[/mm]
die Summe muss bei fast sicherer Konvergenz gegen null gehen für n gegen unendlich, und der letzte Summant der Gleichung muss natürlich auch gegen null gehen, da ja [mm]\mu (\limes_{n\rightarrow\infty} \{|X_k - X| > \epsilon\}) = 0 [/mm]
Dann weiter:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu(\bigcup_{k \ge n}^{}\{|X_k - X| > \epsilon\}) \ge \limes_{n\rightarrow\infty} \mu (\{|X_n - X| \ge \epsilon\})[/mm]
der erste Teil der Ungleichung ist bei fast sicherer Konvergenz = 0, also auch der zweite! Somit folgt die stochastische Konvergenz.
Hier noch ein Beispiel für eine stochastisch, aber nicht fast sicher konvergente Folge:
[mm]P(X_n=0)=1 - \bruch{1}{n}[/mm]
[mm]P(X_n=n)=\bruch{1}{n}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Fusel |
Hey, vielen Dank für deine Hilfe :)
Ich denke deinen Beweis habe ich verstanden.
Habe aber eine Frage dazu:
[mm] \mu(\limes_{n\rightarrow\infty}sup\{|X_n - X| > \epsilon \} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(\bigcup_{k \ge n}^{}\{|X_k - X| > \epsilon\}) [/mm] = 0
Ich denke, die Gleichheit gilt hier nur da beides 0 ist, aber nicht allgemein, oder?
Noch mal zu meinem Verständnisproblem:
1= [mm] P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]
=> 1 [mm] =\limes_{m\rightarrow\infty}P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]
Dann gilt:
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]
[mm] =\limes_{m\rightarrow\infty}(\summe_{m=1}^{\infty}(P[\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]) - [mm] P[\bigcap_{m}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] )
Oh jetzt merke ich gerade, dass ich noch ein anderes Problem habe..
Ein Ausdruck wie [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\bigcap_{m}\bigcap_{n\ge m}X_m
[/mm]
wie ist der zu verstehen? Denn m ist ja nur ein Laufindex. Geht der erste Schnitt jetzt trotzdem von 1 bis [mm] \infty [/mm] oder "startet" er auch im "Unendlichen"?
Wenn er jetzt im "Unendlichen" starten würde..
dann wäre [mm] P[\bigcap_{m}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] ) = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} [/mm] P[ [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1}] [/mm] ) , oder doch nicht?
mmh
Um [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} P[\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] = 1 zu bekommen, würde es ja auch reichen, wenn ich zeige dass gilt:
[mm] P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] [mm] \le \limes_{m\rightarrow\infty} P[\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]
Aber da ich bei den ganzen Schnitten, Vereinigungen und Grenzwerten nicht durchblicke, bekomme ich das einfach nicht hin.
Vielleicht kann mir das ja jemand versuchen zu erklären ;)
Wäre toll :)
Grüße,
Fusel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mo 09.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wenn du in meinem Beitrag verstanden hast, warum die erste Zeile gilt, dann gehe doch weiter wie folgt:
[mm]0 = \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcup_{k \ge n}^{}\{|X_n - X| > \epsilon\}) = 1 - \limes_{n\rightarrow\infty} P( \mathcal{C} (\bigcup_{k \ge n}^{}\{|X_n - X| > \epsilon\})) = 1 - \limes_{n\rightarrow\infty} P(\bigcap_{k \ge n}^{}\{|X_n - X| < \epsilon\})[/mm]
und schon bist du in deinem ersten Beitrag in der letzten Folgerung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Fusel |
Hey,
ich danke dir echt sehr!
Hab jetzt alles nachvollziehen können!
Ich war wohl etwas versteift darauf die Gleichung
[mm] P[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }] = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} P[\bigcap_{n\ge m} [/mm] { [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \le k^{-1} [/mm] }]
zu verstehen.. aber jetzt ist alles klar.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Blech |
> $1= [mm] P\left[\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n\ge m} \{ |X_n - X| \le k^{-1} \}\right] [/mm] = [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} P\left[\bigcap_{n\ge m} \{ |X_n - X| \le k^{-1} \}\right] [/mm] $
Also,
[mm] $\bigcap_{n\ge 1} \{ |X_n - X| \le k^{-1} \} \subseteq \bigcap_{n\ge 2} \{ |X_n - X| \le k^{-1} \} \subseteq \ldots$
[/mm]
Es gilt [mm] $\sigma$-Stetigkeit:
[/mm]
[mm] $A_1\subseteq A_2 \subseteq A_3\subseteq \ldots$ [/mm] und [mm] $A=\bigcup_{i=1}^\infty A_i$ [/mm] (auch geschrieben als [mm] $A_i\nearrow [/mm] A$), dann ist [mm] $\lim_{i\to\infty} P(A_i)=P(A)$
[/mm]
Beweis mit [mm] $\sigma$-Additivität:
[/mm]
$P(A) [mm] \underset{A_0:=\emptyset}{=} P(\bigcup_{i=1}^\infty(A_i \setminus A_{i-1})) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^\infty P(A_i \setminus A_{i-1})=$
[/mm]
[mm] $=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n P(A_i \setminus A_{i-1}) =\lim_{n\to\infty} P(\bigcup_{i=1}^n(A_i \setminus A_{i-1})) =\lim_{n\to\infty} P(A_n)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Fusel |
:) Vielen Dank!! Das hat mir wirklich noch mal einiges klar gemacht! :)
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