f° f Abbildung? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 11.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Sei V ein R-Vektorraum mit Basis b1, . . . , b5, und sei f ∈ End(V ) mit
f(b1) = 2b1 + 3b4
f(b2) = −b1 + b2 + 3b3 − 2b5
f(b3) = −b1 + 2b3 − 4b4
f(b4) = b1 − 2b3
f(b5) = −3b1 − 2b2 + 2b4 + 4b5
.
(i) Geben Sie die Matrix von f ◦ f bzgl. b1, . . . , b5 an.
(ii) Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear unabhängig sind:
c1 := b1 + b3 + b4, c2 := b1 − b3, c3 := b1 + b4 .
(iii) Beweisen Sie, dass U := Span(c1, c2, c3) ein Untervektorraum von V mit f(U) ⊆ U ist.
(iv) Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung g : U → U, u 7→ f(u), bzgl. der Basis c1, c2, c3 von U. |
Hallo!
ich habe bereits die aufgabe ii gelöst, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Bei der aufgabe i) bin ich aber völlig Überfragt, weil ich nicht weiss
was man bei einer f° f abbildung machen muss,
prinzipiell ist das doch einfach die Abbildung 2 mal ausgeführt oder?
ich habe nun f mal als matrix geschrieben
[mm] \pmat{ 2 & 0 &0 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 0 & -5 \\ -1 & 0 & 2 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & 2 & 4 }
[/mm]
aber weiss nun nicht weiter,
kann mir jemand die vorgehensweise erklären bei so einemproblem?
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo muhmuh,
> Sei V ein R-Vektorraum mit Basis b1, . . . , b5, und sei f
> ∈ End(V ) mit
> f(b1) = 2b1 + 3b4
> f(b2) = −b1 + b2 + 3b3 − 2b5
> f(b3) = −b1 + 2b3 − 4b4
> f(b4) = b1 − 2b3
> f(b5) = −3b1 − 2b2 + 2b4 + 4b5
Puh, das ist nicht schön zu lesen, mache doch besser Indizes mit dem Unterstrich _
> .
> (i) Geben Sie die Matrix von f ◦ f bzgl. b1, . . . , b5
> an.
> (ii) Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear
> unabhängig sind:
> c1 := b1 + b3 + b4, c2 := b1 − b3, c3 := b1 + b4 .
> (iii) Beweisen Sie, dass U := Span(c1, c2, c3) ein
> Untervektorraum von V mit f(U) ⊆ U ist.
> (iv) Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung g : U
> → U, u 7→ f(u), bzgl. der Basis c1, c2, c3 von U.
> Hallo!
>
> ich habe bereits die aufgabe ii gelöst, dass die Vektoren
> linear unabhängig sind.
> Bei der aufgabe i) bin ich aber völlig Überfragt, weil
> ich nicht weiss
> was man bei einer f° f abbildung machen muss,
> prinzipiell ist das doch einfach die Abbildung 2 mal
> ausgeführt oder?
>
> ich habe nun f mal als matrix geschrieben
> [mm]\pmat{ 2 & 0 &0 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 0 & -5 \\ -1 & 0 & 2 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & 2 & 4 }[/mm]
>
> aber weiss nun nicht weiter,
> kann mir jemand die vorgehensweise erklären bei so
> einemproblem?
Ich würde [mm] $f\circ [/mm] f$ ohne die Matrix berechnen, sondern fix zu Fuß:
Es ist [mm] $(f\circ f)(b_1)=f(f(b_1))=f(2b_1+3b_4)=2f(b_1)+3f(b_4)$ [/mm] da $f$ Homomorphismus ist.
Und das kannst du doch locker weiter ausrechnen, du hast ja die Bilder aller Basisvektoren gegeben ...
Für [mm] $b_2,..., b_5$ [/mm] analog
>
>
> danke!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Mo 11.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
hallo!
danke für deine schnelle Antwort,
hab das mal so gemacht, wie du das vorgeschlagen hast, klingt logisch^^
ich hab die 5 ergebnisse dann in eine Matrix geschrieben,
also
f°f = [mm] \pmat{ 4 & 0 &0 & 9 & 0 \\ -6 & 1 & 9 & -15 & -0 \\ -8 & 0 & 12 & -11 & 0 \\ -4 & 0 & -4 & 11 & 0 \\ -14 & -10 & -10 & -1 & 26 } [/mm]
stimmt das so?
ich habe nun probleme bei der weiteren aufgabenlösung von iii
kann ich dort zunächst zeigen, dass U := Span(c1, c2, c3) mit c1 := b1 + b3 + b4, c2 := b1 − b3, c3 := b1 + b4 .
ein UNtervektorraum von V ist, und dann dass f(u) Teilmenge von U ist?
dafür, dass es ein untervektorraum ist, muss ja gelten:
für alle [mm] x,y\in [/mm] U gilt x+y in U und für alle [mm] $x\in [/mm] U$, [mm] $\lambda\in\mathbb{K}$ [/mm] gilt [mm] $\lambda x\in [/mm] U$
wie stell ich das aber nun mit dem Span an?
Vielen Dank für Tips, ich komme mit der algebra und den begriffen oftmals noch nicht ganz zurecht!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 13.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
