f harmonisch machen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei $u(x+iy) = cos(x)cosh(y)$ mit $x+iy [mm] \in \IC$. [/mm] Man verifiziere, dass u harmonisch in [mm] $\IC$ [/mm] ist und finde eine Funktion [mm] $v:\IC \rightarrow \IR$ [/mm] so dass $f=u+iv [mm] \in \mathcal{O}(G)$ [/mm] und $f(0)=1$ sind. |
Hallo!
1 ) Es ist :
[mm] $u_{xx} [/mm] = -cos(x)cosh(y) , [mm] u_{yy}= [/mm] cos(x)sinh(y) [mm] \Rightarrow u_{xx}+u_{yy} [/mm] = 0$ und damit $u$ harmonisch.
2) $f=cos(x)cosh(y)+iv(x,y)$ mit der Bedingung $f [mm] \in \mathcal{O}(G)$ [/mm] und $f(0)=1$. CauRieDGL Bedingung:
[mm] $u_{x}= [/mm] -sin(x)cosh(y) = [mm] v_{y} [/mm] $
[mm] $u_{y}= [/mm] cos(x)sinh(y) = [mm] -v_{x} [/mm] $
dann ist also: $v(x,y) = -sin(x)sinh(y)$
also : $f= cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y)$ , die Bedingung $f(0)=1$ ist erfüllt.
Ist das so OK?
Vielen Dank für jegliche Hilfestellung!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Sei [mm]u(x+iy) = cos(x)cosh(y)[/mm] mit [mm]x+iy \in \IC[/mm]. Man
> verifiziere, dass u harmonisch in [mm]\IC[/mm] ist und finde eine
> Funktion [mm]v:\IC \rightarrow \IR[/mm] so dass [mm]f=u+iv \in \mathcal{O}(G)[/mm]
> und [mm]f(0)=1[/mm] sind.
Hier ist wohl f(0,0)=1 gemeint.
> Hallo!
>
>
>
> 1 ) Es ist :
>
> [mm]u_{xx} = -cos(x)cosh(y) , u_{yy}= cos(x)sinh(y) \Rightarrow u_{xx}+u_{yy} = 0[/mm]
> und damit [mm]u[/mm] harmonisch.
>
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>
> 2) [mm]f=cos(x)cosh(y)+iv(x,y)[/mm] mit der Bedingung [mm]f \in \mathcal{O}(G)[/mm]
> und [mm]f(0)=1[/mm]. CauRieDGL Bedingung:
> [mm]u_{x}= -sin(x)cosh(y) = v_{y}[/mm]
> [mm]u_{y}= cos(x)sinh(y) = -v_{x}[/mm]
>
> dann ist also: [mm]v(x,y) = -sin(x)sinh(y)[/mm]
>
>
> also : [mm]f= cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y)[/mm] , die Bedingung
> [mm]f(0)=1[/mm] ist erfüllt.
>
>
> Ist das so OK?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Vielen Dank für jegliche Hilfestellung!
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
>
>
> daumenhoch
Vielen Dank fürs Drüberschauen!
Gruss
kushkush
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