f(x)=0,25x^6 - 2x³ < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Ute |
So lautet meine Funktion, von der ich als Hausaufgabe bis morgen die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte herausfinden soll.
Ich weiß leider gar nicht, wie ich anfangen soll, das was ich bis jetzt gemacht hab, sind fünf Ableitungen:
[mm] f'(x)=1,5x^5-6x²
[/mm]
[mm] f''(x)=7,5x^4-12x
[/mm]
f'''(x)=30x³-12
f''''(x)=90x²
f'''''(x)=180x
Könnt ihr mir helfen? Muss ich vielleicht erstmal das x ausklammern? Wenn ja, aus welcher Funktion oder Ableitung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Eva |
Hallo Ute!
Super ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Deine Ableitungen sind alle richtig!
1) Nullstellen:
Für eine Nullstelle gilt: $f(x)=0$
2) Extremstellen:
Für die Extremstellen gilt: $f'(x)=0, f''(x) [mm] \neq0$
[/mm]
3) Wendestellen:
Für die Wendestellen gilt: $f''(x)=0, [mm] f'''(x)\neq [/mm] 0$
Nun zur Berechnung:
Zu 1) Wie Du schon richtig vermutet hast, musst Du das x ausklammern. Ich rechne es Dir einmal beispielhaft für die Nullstellen vor, dann kannst Du es analog bei den Extrem- und Wendestellen versuchen!
Für die Nullstellen gilt ja $f(x)=0$ in unserem Fall also:
[mm] $f(x)=0,25x^6-2x^3=0$
[/mm]
Nun klammern wir das x aus, nehmen dazu aber, das größtmögliche! In dieser Aufgabe also [mm] $x^3$, [/mm] ist Dir klar warum?
[mm] $0,25^6-2x^3=0$ [/mm]
Jetzt x vorklammern:
[mm] $x^3*(0,25x^3-2)=0$
[/mm]
Schon haben wir unsere erste Lösung, denn 0 geteilt durch irgendetwas gibt ja immer 0 --> $x1=0$
Im nächsten Schritt setzen wir nun die Klammer 0:
[mm] $0,25x^3-2=0$
[/mm]
Wir bringen die 2 auf die andere Seite:
[mm] $0,25x^3=2$
[/mm]
Teilen nun durch 0,25, um das x³ alleine stehen zu haben:
[mm] $x^3=8$
[/mm]
Und im letzten Schritt ziehen wir die 3. Wurzel aus 8 (was wir aber in diesem Fall im Kopf machen können) und kommen zu dem Ergebnis:
$x2=2$
Um das Ergebnis zu überprüfen, kannst Du nun unsere beiden Ergebnisse in $f(x)$ einsetzen und wenn bei beiden Ergebnissen $0$ als Lösung rauskommt, haben wir es richtig berechnet  ! Und?
Ist Dir das einigermaßen klar geworden? Falls nicht, frage bitte nach, dann erkläre ich es Dir noch mal ein bisschen ausführlicher!
Zu 2) Für die Extremstellen, kannst Du nun die Berechnung mal selbst versuchen, der Ansatz lautet also: [mm] $1,5x^5-6x^2=0$
[/mm]
Zu 3) Für die Wendestellen, lautet der Ansatz: [mm] $7,5x^4-12x=0$
[/mm]
Versuche mal beide Stellen anhand meines Beispiels mit den Nullstellen zu berechnen.
Bei den Extremstellen müsst ihr doch bestimmt auch bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder um einen Tiefpunkt handelt, nicht wahr? Wie habt ihr das bisher im Unterricht besprochen?
Melde Dich mit Fragen und Deinen Ergebnissen wieder!
Viel Erfolg beim Berechnen,
Grüße
Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Zwille |
Hi,
die Ansätze von Eva sind schon richtig.
Bedingung, dass Nullstellen existieren: f(X) = 0 !
Bedingung, dass Extrempunkte existieren: f'(x) = 0 !
Um Wendepunkt ermitteln zu können, muss man die 2. Ableitung bilden !!
Schau doch sonst einmal auf www.mathe.timmermann.org, dort sind auch noch Beispiele angegeben
Gruß
Andy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Ute |
Ok, ich bin nun klar gekommen.
Eine Frage noch: Ich habe einen Extrema 1,59/-3,9 und 0/0. Der Erste ist ein Tiefpunkt und der Zweite? Normalerweise muss es ja größer oder kleiner als 0 sein, um herauszukriegen, ob es ein HP oder TP ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute,
> Ok, ich bin nun klar gekommen.
> Eine Frage noch: Ich habe einen Extrema 1,59/-3,9 und 0/0.
> Der Erste ist ein Tiefpunkt und der Zweite? Normalerweise
> muss es ja größer oder kleiner als 0 sein, um
> herauszukriegen, ob es ein HP oder TP ist
Ich nehme an, du meinst mit "es" den Funktionswert der zweiten Ableitung an den Stellen 1,59 und 0.
Weiterhin vermute ich, dass du für diesen Wert Null errechnet hast und jetzt nicht weißt, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
Du hast also wahrscheinlich $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$ errechnet, stimmt's?
Dann stelle ich mal eine Gegenfrage: Ist denn vielleicht die Stelle $0$ eine Wendestelle? Falls ja, dann kann bei [mm] $x_0=0$ [/mm] ja nicht auch noch ein Extrempunkt sein...
Und, was sagst du jetzt?
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Ute |
Da ist Nullstelle, Extremum und Wendepunkt in einem. Nennt man das nicht Sattelpunkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute,
> Da ist Nullstelle, Extremum und Wendepunkt in einem. Nennt
> man das nicht Sattelpunkt?
wie gesagt, eine Stelle kann nicht gleichzeitig Extrem- und Wendestelle sein. Du meinst folgendes:
Die Stelle $x=0$ ist ein Wendepunkt und die erste Ableitung ist Null ($f'(0)=0$); da dies gleichbedeutend mit einer horizontalen Tangente ist, nennt man einen solchen Wendepunkt auch Sattelpunkt. Ein Extrempunkt liegt nicht an der Stelle $x=0$.
Nun alles klar?
--Marc.
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