f(x)=(lnx)^2! komm nich weiter < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallO!!
wie oben genannt handelt es sich um die fukntion [mm] (ln(x))^2!! [/mm]
1. soll diese ganz normal diskutiert werden (nullstellen, definitonsbereich, extrema, wendepunkte...)
2. die fläche der kurve soll um die y-achse rotieren in den grenzen 0 und 1!
zu 1. die ableitungen: f'(x)= 2/x *(lnx)
f''(x)= -2lnx + [mm] 2/x^2 [/mm] (nach produktregel)
sind die soweit richtig??
zum def.bereich: ln0 gibt es ja nicht!! ist dann da eine lücke oder sowas?:) oder wie ist hier der def.bereich?
nullstelle ist eine doppelte bei 1! richtig?
zu 2. da weiß ich nur, dass ich erstmal die umkehrfunktion machen sollte.. also e^wurzelx oder? dann brauch noch eine... wie gesagt da bin ich mir noch sehr unsicher...
btte um hilfe!:)
mfg
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Hi, declatereter,
> wie oben genannt handelt es sich um die funktion
> [mm](ln(x))^2!![/mm]
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> 1. soll diese ganz normal diskutiert werden (nullstellen,
> definitonsbereich, extrema, wendepunkte...)
>
> 2. die fläche der kurve soll um die y-achse rotieren in den
> grenzen 0 und 1!
>
> zu 1. die ableitungen: f'(x)= 2/x *(lnx)
RICHTIG!
> f''(x)= -2lnx + [mm]2/x^2[/mm]
> (nach produktregel)
FALSCH! Dein 1. Summand stimmt nicht! Vermutlich hast Du beim Ableiten von [mm] 2*x^{-1} [/mm] bei der Hochzahl 1 addiert statt subtrahiert?!
Ich erhalte (wie immer ohne Gewähr!)
f''(x) = [mm] \bruch{2}{x^{2}}*(1- [/mm] ln(x))
> zum def.bereich: ln0 gibt es ja nicht!! ist dann da eine
> lücke oder sowas?:) oder wie ist hier der def.bereich?
Ansatz: y = ln(:::) => (:::) > 0.
Heißt bei Deiner Aufgabe: x > 0 oder: D(f) = [mm] \IR^{+} [/mm]
Für [mm] x\to [/mm] 0 geht f(x) gegen [mm] +\infty. [/mm] Also hast Du dort einen Pol.
> nullstelle ist eine doppelte bei 1! richtig?
Naja: Sag' lieber: "Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel". Aber es stimmt!
T(1;0) ist Tiefpunkt.
Wendepunkt: ln(x)=1 <=> x = e. W(e; 1)
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> zu 2. da weiß ich nur, dass ich erstmal die umkehrfunktion
> machen sollte.. also e^wurzelx oder? dann brauch noch
> eine... wie gesagt da bin ich mir noch sehr unsicher...
> btte um hilfe!:)
Ich vermute, die Grenzen beziehen sich auf die y-Achse: 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1.
(Sonst wäre die Fläche nach oben unbegrenzt!)
Beim "Umkehren" musst Du gut aufpassen, da die Funktion [mm] y=(ln(x))^{2} [/mm] als Ganzes NICHT UMKEHRBAR ist!
Du musst Dir also den richtigen Teil des Graphen von f raussuchen und das ist der fallende!
Also gilt: 0 < x [mm] \le [/mm] 1 und y [mm] \ge [/mm] 0, was sich für die Umkehrfunktion genau umkehrt.
Daher hast Du auch genau den falschen Term erwischt. Richtig wäre nämlich:
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] e^{-\wurzel{x}} [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 0 und 0 < y [mm] \le [/mm] 1.
Bevor Du nun integrierst, schau nochmal in Deinen Strang "f(x) mit natürl.Logarithmus", wo wir ein ähnliches Integral zu berechnen hatten!
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hallO!!
also ich würde nun z=wurzel x substituieren und dann partiell integrieren. ich melde mich morgen dann mal mit meinem ergebnis...
mfg
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Hi, declatereter,
ja! Mach mal!
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hallo!!
also subst. mit z= wurzelx --> dx=2z*dz
jetzt in die umkehrfunktion e^-wurzelx eingesetzt...
integral e^-z *2z*dz
danach hab ich die 2 vor das integral gezogen und e^-z *z*dz partiell integriert! u'=e^-z und u=-e^-z und v=z und v'=1
kommt bei mir als stammfunktion folgendes herraus
2pi*( -e^-z*z -integral-e^-z) in den grenzen 1 und 0
(pi natürlich wegen der fläche und 2 hab ich halt davor gezogen)
ok das mit dem integral ist nichts korrekt, weil stammfunktion, aber bin mir nicht sicher wie man es sonst schreibt?
wenn ich die grenzen nun einsetze kommt in der klammer 1 herraus! also endergebnis 2*pi!!!
aber das is doch bestimmt nicht richtig oder??
mfg
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Hi, declatereter,
> hallo!!
>
> also subst. mit z= wurzelx --> dx=2z*dz
> jetzt in die umkehrfunktion e^-wurzelx eingesetzt...
> integral e^-z *2z*dz
> danach hab ich die 2 vor das integral gezogen und e^-z
> *z*dz partiell integriert! u'=e^-z und u=-e^-z und v=z
> und v'=1
> kommt bei mir als stammfunktion folgendes herraus
> 2pi*( -e^-z*z -integral-e^-z)
Erscheint mir richtig! Musst aber das Restintegral auch noch ausrechnen!
Daher: [mm] 2\pi*(-z*e^{-z} [/mm] - [mm] e^{-z})
[/mm]
> in den grenzen 1 und 0
> wenn ich die grenzen nun einsetze kommt in der klammer 1
> heraus! also endergebnis 2*pi!!!
> aber das is doch bestimmt nicht richtig oder??
Rechnen wir's nach:
[mm] 2\pi*(-1*e^{-1} [/mm] - [mm] e^{-1}) [/mm] - [mm] 2\pi*(-0*e^{0} [/mm] - [mm] e^{0}) [/mm] =
= [mm] 2\pi*(1 [/mm] - [mm] 2e^{-1}) \approx [/mm] 1,66.
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hallo!!
oh man bin ich ein dummkopf!:) ja vielen dank für die ganze hilfe!
jetzt muss ich nur noch alles mal sauber abschreiben, damit ich nich den überblick verliere..
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 So 03.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, declatereter,
das war aber jetzt keine Frage, oder?
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nein war keine frage... alles geklärt!
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Fibonacchi |
Offensichtlich erledigt.
"Edel sei der Mensch, hilfreich und gut."
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