f(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2 < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Guten Abend,
es geht um Nullstellenbestimmung.
Alle 4 Nullstellen sind auch richtig! Wirklich unanfechtbar richtig.
Ich habe die Nullst. mit verschiedenen "Methoden" bestimmt. Nur bei einer - da habe ich eine Frage zu: |
[mm] f(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2
[/mm]
[mm] x_{N1} [/mm] = 1
[mm] x_{N2} [/mm] = 1
[mm] x_{N3} [/mm] = 2
[mm] (x_{N4} [/mm] =-1 diese Nullst. muss erst noch gefunden werden!!!)
Ich habe also 3 Nullst. u. frage mich, ob es vielleicht noch eine 4.te gibt. Muss ja nicht, aber kann! Und versuche
(x-1)*(x-1)*(x-2)*(x-a) = f(x)
-1 * -1 * -2 * -a = -2 (-2 ist das Absolutglied)
2a = -2
a= -1
Also (x+1)
Aber habe ich mir jetzt nicht eine 4.te Nullst. gebastelt, die vielleicht gar nicht Nullst. ist? Es wäre doch egal, wie das Absolutglied der Ausgangsfunktion aussähe, ich hätte es, egal welche Zahl, doch nur durch 2 teilen müssen, d.h. ich hätte auf jeden Fall irgendeine Nullstelle rausgekriegt. Was aber, wenn die Fkt. nur 3 Nullst. gehabt hätte?
Wie muss ich mir vorstellen, dass 2a=-2 nicht lösbar ist?
Für eure Hilfe u. klugen Gedanken
vielen DANK
u. fröhliche Pfingsten
Sabine
|
|
| |
|
Ich weiß ja nicht, wie du auf die ersten drei Lösungen gekommen bist (anscheinend durch Probieren, weil du vermutet hast, dass die Lösungen ganzzahlig sind).
Aber nachdem du diese Lösungen schon hast, musst du nur rechnen:
(x-1)*(x-1)*(x-2)
Und dann teilst du deine Ausgangsfunktion, durch das, was du bei obiger Multiplikation raus hast (Polynomdivision).
Und dann kriegst du raus: x+1
Wie gesagt: Das Hauptproblem ist eigentlich, überhaupt erst einmal eine Nullstelle zu finden.
Was hättest du denn gemacht, wenn die Funktion gelautet hätte:
> [mm]f(x)=x^4-4x^3+x^2+3x-2[/mm]
Dann würde es vermutlich auch 4 Nullstellen geben, nur dass die eben nicht ganzzahig sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hallo rabilein1
> Ich weiß ja nicht, wie du auf die ersten drei Lösungen
> gekommen bist
Für die Frage, die ich hatte, war das auch nicht von Bedeutung.
Trotzdem: Ich wollte alle Nullst. mit allen möglichen Verfahren u. mich auf keinen Fall auf eine Schiene festlegen.
Die Bezeichnung "Probieren" ist schon mal weit besser als "raten". In Mathe "raten" befremdet mich sogar.
Aber ja, mit austesten, bzw. einsetzen in f(X)=0) habe ich angefangen.
Wird das null, dann Linearfaktor u. damit Polyn.-Div.
Mit dem Ergebnis kann man dann wieder so verfahren, wie mit der Ausgangs-Fkt., d.h. durch Probieren u. wieder weiter mit Polyn.-Div. usw. usw.
> (anscheinend durch Probieren, weil du
> vermutet hast, dass die Lösungen ganzzahlig sind).
Nein, nicht vermutet, sondern durch Wissen (hohoho, das habe ich von Angela  : Wenn alle Koeffizienten ganzzahlig sind u. der Koeffizient der höchsten Potenz auch noch 1 ist, dann kann man die Teiler des Absolutgliedes in f(x)=0 einsetzen.
>
> Aber nachdem du diese Lösungen schon hast, musst du nur
> rechnen:
> (x-1)*(x-1)*(x-2)
>
> Und dann teilst du deine Ausgangsfunktion, durch das, was
> du bei obiger Multiplikation raus hast (Polynomdivision).
Ja, genau, auch das geht auch noch.
In der Schule damals hatten wir nur einen Linearfaktor als Teiler u. ich dachte bis vor ein paar Tagen, dass es das auch war. Aber durch Experimentieren bin ich selbst drauf gekommen, dass Polyn.-Div. auch mit quadratischen Faktoren (ja, sagt man das so?) u. auch noch höheren u. der Teiler kann sogar auch lauten, [mm] x^5+5x^4-.....usw.
[/mm]
Ich bin fasziniert u. begeistert davon.
Es funktioniert einwandfrei!
>
> Und dann kriegst du raus: x+1
>
> Wie gesagt: Das Hauptproblem ist eigentlich, überhaupt
> erst einmal eine Nullstelle zu finden.
Ja.
>
> Was hättest du denn gemacht, wenn die Funktion gelautet
> hätte:
> > [mm]f(x)=x^4-4x^3+x^2+3x-2[/mm]
>
> Dann würde es vermutlich auch 4 Nullstellen geben, nur
> dass die eben nicht ganzzahig sind.
Das Newton-Verfahren will ich jetzt noch nicht lernen (erstmal hier so weiter machen), aber später bald ist auch das dran.
Gruß
Sabine
|
|
|
| |
|
Hallo,
die fehlenden Infos vorweg:
Polynome vom Grad n können maximal n Nullstellen haben.
Polynome mit geradem Grad können nur eine gerade Anzahl von Nullstellen haben. (Doppelte Nullstellen zählen hierbei als zwei Nullstellen, dreifache als drei usw.)
Ein Polynom vom Grad 4 kann also 0,2,4 Nullstellen haben.
Und weil Du bei Deinem Polynom schon drei Nullstellen gefunden hast, kannst Du ganz sicher sein, daß es auch eine vierte geben wird.
Polynome mit ungeradem Grad können nur eine ungerade Anzahl von Nullstellen haben. Sie haben mindestens eine Nullstelle.
> Guten Abend,
> es geht um Nullstellenbestimmung.
> Alle 4 Nullstellen sind auch richtig! Wirklich
> unanfechtbar richtig.
> Ich habe die Nullst. mit verschiedenen "Methoden" bestimmt.
> Nur bei einer - da habe ich eine Frage zu:
> [mm]f(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2[/mm]
>
> [mm]x_{N1}[/mm] = 1
>
> [mm]x_{N2}[/mm] = 1
>
> [mm]x_{N3}[/mm] = 2
>
> [mm](x_{N4}[/mm] =-1 diese Nullst. muss erst noch gefunden
> werden!!!)
>
> Ich habe also 3 Nullst. u. frage mich, ob es vielleicht
> noch eine 4.te gibt. Muss ja nicht, aber kann! Und
> versuche
Da Du drei Nullstellen gefunden hast, kannst Du sicher sein, daß es eine vierte gibt,
und weil Du weißt, daß zu jeder Nullstelle ein Linearfaktor gehört, funktioniert Deine Vorgehensweise.
>
> (x-1)*(x-1)*(x-2)*(x-a) = f(x)
>
> -1 * -1 * -2 * -a = -2 (-2 ist das Absolutglied)
>
> 2a = -2
>
> a= -1
Genau.
Das Polynom [mm] p(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2 [/mm] hat nur zwei Nullstellen, nämlich [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=2.
[/mm]
Bei diesem kommst Du ja gar nicht in Versuchung, mit der Methode von zuvor die fehlenden Nullstellen zu suchen.
Daß es keine weiteren Nullstellen gibt, findest Du hier z.B. durch Polynomdivision heraus. Du stehst dann mit [mm] x^2+1 [/mm] da, und daß das keine Nullstellen hat, sieht man ja.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 So 08.06.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Angela,
> Polynome vom Grad n können maximal n Nullstellen haben.
> Polynome mit geradem Grad können nur eine gerade Anzahl
> von Nullstellen haben.
Ach guck, wieder was Neues gelernt.
> (Doppelte Nullstellen zählen
> hierbei als zwei Nullstellen, dreifache als drei usw.)
Das habe ich die letzte Tage durch die ganze Rechnerei selbst entdeckt.
> Ein Polynom vom Grad 4 kann also 0,2,4 Nullstellen haben.
> Und weil Du bei Deinem Polynom schon drei Nullstellen
> gefunden hast, kannst Du ganz sicher sein, daß es auch
> eine vierte geben wird.
> Polynome mit ungeradem Grad können nur eine ungerade
> Anzahl von Nullstellen haben. Sie haben mindestens eine
> Nullstelle.
> > es geht um Nullstellenbestimmung.
> > Alle 4 Nullstellen sind auch richtig! Wirklich
> > unanfechtbar richtig.
> > Ich habe die Nullst. mit verschiedenen "Methoden" bestimmt.
> > Nur bei einer - da habe ich eine Frage zu:
> > [mm]f(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2[/mm]
> >
> > [mm]x_{N1}[/mm] = 1
> >
> > [mm]x_{N2}[/mm] = 1
> >
> > [mm]x_{N3}[/mm] = 2
> >
> > [mm](x_{N4}[/mm] =-1 diese Nullst. muss erst noch gefunden
> > werden!!!)
> >
> > Ich habe also 3 Nullst. u. frage mich, ob es vielleicht
> > noch eine 4.te gibt. Muss ja nicht, aber kann! Und
> > versuche
>
> Da Du drei Nullstellen gefunden hast, kannst Du sicher
> sein, daß es eine vierte gibt,
Nach der neuen Info jetzt von dir - ja.
> und weil Du weißt, daß zu jeder Nullstelle ein
> Linearfaktor gehört, funktioniert Deine Vorgehensweise.
> >
> > (x-1)*(x-1)*(x-2)*(x-a) = f(x)
> >
> > -1 * -1 * -2 * -a = -2 (-2 ist das Absolutglied)
> >
> > 2a = -2
> >
> > a= -1
>
> Genau.
>
>
> Das Polynom [mm]p(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2[/mm] hat nur zwei
> Nullstellen, nämlich [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=2.[/mm]
> Bei diesem kommst Du ja gar nicht in Versuchung, mit der
> Methode von zuvor die fehlenden Nullstellen zu suchen.
> Daß es keine weiteren Nullstellen gibt, findest Du hier
> z.B. durch Polynomdivision heraus. Du stehst dann mit [mm]x^2+1[/mm]
> da, und daß das keine Nullstellen hat, sieht man ja.
Ich habe es ausprobiert u. finde mit f(1)=0 die erste Nullst.
Mit dem Linearfaktor dann Polyn.-Div.
Ergebnis [mm] x^3-2x^2+x-2
[/mm]
[mm] x^3-2x^2+x-2=0
[/mm]
Und wieder finde ich raus, dass die Gleichung mit 1 null wird.
Fogendes eingeschoben:
Und ich denke, dass es sich um eine doppelte Nullst. handeln muss, weil diese Nullstelle sich anders gebildet hat (aus anderen Zahlen entstanden ist) als die erste oben. Aber, wenn der Graph geplottert wird, dann sieht man, dass es nur eine einfache Nullst. ist.
Ich hoffe beim weiteren Rechnen irgendwann irgendwie auch dahinter zu kommen, wann es sich um eine dopp. u. wann um eine einfache handelt.
> Bei diesem kommst Du ja gar nicht in Versuchung, mit der
> Methode von zuvor die fehlenden Nullstellen zu suchen.
Nein, bei dieser Fkt., wenn sie doch max. 4 Nullst. haben kann u. ich aber erst 2 rausbekommen habe geht das Verfahren nicht, weil man 2 Unbekannte hat (nicht lösbar).
Um das schöne Verfahren von dir anzuwenden ist die Info von dir oben absolut hilfreich!
DANKE SCHÖN
Gruß
Sabine
|
|
|
| |
|
> > Das Polynom [mm]p(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2[/mm] hat nur zwei
> > Nullstellen, nämlich [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=2.[/mm]
> > Bei diesem kommst Du ja gar nicht in Versuchung, mit der
> > Methode von zuvor die fehlenden Nullstellen zu suchen.
> > Daß es keine weiteren Nullstellen gibt, findest Du hier
> > z.B. durch Polynomdivision heraus. Du stehst dann mit [mm]x^2+1[/mm]
> > da, und daß das keine Nullstellen hat, sieht man ja.
>
> Ich habe es ausprobiert u. finde mit f(1)=0 die erste
> Nullst.
> Mit dem Linearfaktor dann Polyn.-Div.
> Ergebnis [mm]x^3-2x^2+x-2[/mm]
> [mm]x^3-2x^2+x-2=0[/mm]
> Und wieder finde ich raus, dass die Gleichung mit 1 null
> wird.
Hallo,
da hast Du Dich verrechnet.
x=2 ist die Nullstelle.
> Fogendes eingeschoben:
> Und ich denke, dass es sich um eine doppelte Nullst.
> handeln muss, weil diese Nullstelle sich anders gebildet
> hat (aus anderen Zahlen entstanden ist) als die erste oben.
> Aber, wenn der Graph geplottert wird, dann sieht man, dass
> es nur eine einfache Nullst. ist.
> Ich hoffe beim weiteren Rechnen irgendwann irgendwie auch
> dahinter zu kommen, wann es sich um eine dopp. u. wann um
> eine einfache handelt.
Doppelte Nullstelle:
[mm] f(x)=(x-7)^2*(x-2)*(x^2+5)
[/mm]
Hier ist die 7 eine doppelte Nullstelle.
17-fache Nullstelle:
[mm] f(x)=(x-7)^2*(x-4711)^{17}*(x^2+5)
[/mm]
Hier ist die 4711 eine 17-fache Nullstelle.
Im Graphen erkennt man mehrfache Nullstellen:
- der Graph hat hier einen Extremwert und berührt die x-Achse, "steht also drauf" oder "klebt dran"
oder
- der Graph hat hier einen Sattelpunkt, dh. er verläuft ein Miniminimini-Stück wie die x-Achse.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Sa 07.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend,
> es geht um Nullstellenbestimmung.
> Alle 4 Nullstellen sind auch richtig! Wirklich
> unanfechtbar richtig.
> Ich habe die Nullst. mit verschiedenen "Methoden" bestimmt.
> Nur bei einer - da habe ich eine Frage zu:
> [mm]f(x)=x^4-3x^3+x^2+3x-2[/mm]
>
> [mm]x_{N1}[/mm] = 1
>
> [mm]x_{N2}[/mm] = 1
>
> [mm]x_{N3}[/mm] = 2
>
> [mm](x_{N4}[/mm] =-1 diese Nullst. muss erst noch gefunden
> werden!!!)
>
> Ich habe also 3 Nullst. u. frage mich, ob es vielleicht
> noch eine 4.te gibt. Muss ja nicht, aber kann! Und
> versuche
>
> (x-1)*(x-1)*(x-2)*(x-a) = f(x)
>
> -1 * -1 * -2 * -a = -2 (-2 ist das Absolutglied)
>
> 2a = -2
>
> a= -1
>
> Also (x+1)
Hallo Sabine,
Glückwunsch, Du hast einen Teil des Satzes von Vieta entdeckt:
Ist $P(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] a_3\cdot x^3 [/mm] + [mm] a_2\cdot x^2 [/mm] + [mm] a_1\cdot [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] = [mm] (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4),$
[/mm]
so ist
[mm] $a_0 [/mm] = [mm] x_1*x_2*x_3*x_4$
[/mm]
Gruß FRED
>
> Aber habe ich mir jetzt nicht eine 4.te Nullst. gebastelt,
> die vielleicht gar nicht Nullst. ist? Es wäre doch egal,
> wie das Absolutglied der Ausgangsfunktion aussähe, ich
> hätte es, egal welche Zahl, doch nur durch 2 teilen
> müssen, d.h. ich hätte auf jeden Fall irgendeine
> Nullstelle rausgekriegt. Was aber, wenn die Fkt. nur 3
> Nullst. gehabt hätte?
> Wie muss ich mir vorstellen, dass 2a=-2 nicht lösbar ist?
>
> Für eure Hilfe u. klugen Gedanken
> vielen DANK
> u. fröhliche Pfingsten
> Sabine
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 So 08.06.2014 | | Autor: | Giraffe |
> > Ich habe also 3 Nullst. u. frage mich, ob es vielleicht
> > noch eine 4.te gibt. Muss ja nicht, aber kann! Und
> > versuche
> >
> > (x-1)*(x-1)*(x-2)*(x-a) = f(x)
> >
> > -1 * -1 * -2 * -a = -2 (-2 ist das Absolutglied)
> >
> > 2a = -2
> >
> > a= -1
> >
> > Also (x+1)
>
> Hallo Sabine,
>
> Glückwunsch, Du hast einen Teil des Satzes von Vieta
> entdeckt:
>
> Ist [mm]P(x) = x^4 + a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4),[/mm]
>
> so ist
>
> [mm]a_0 = x_1*x_2*x_3*x_4[/mm]
>
Habt Ihr das gehört?
Fred nennt mich Entdecker
MICH
(dabei hat mir das Angela gesteckt).
Vieta, Vieta, Vieta, willst du mich nicht heiraten?
Gruß
Sabine
|
|
|
|
