f(x)=x^7-6x^6+12x^5-8x^4 < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 30.03.2004 | | Autor: | Ute |
Bei dieser o. genannten Funktion müssen wir NS, HP/TP, Wendepunkte und Sattelpunkte herausfinden.
Ich habe so angefangen, dass ich [mm] x^4 [/mm] ausgeklammert habe,
danach hab ich eine Nullstelle erraten: 2/0 und mit dieser Polynomdivision gemacht. Dann pq-Formel und da hab ich auch bei beiden x-Stellen 2/0 raus.
dann hab ich die 1. Ableitung gemacht [mm] (7x^6-36x^5+60x^4-32x³)und [/mm] dabei x³ ausgeklammert und wieder eine NS erraten, die auch 2/0 ist. Mit dieser habe ich wieder Polynomdivison und pq Formel gemacht, wo ich x1=5,995 und x2=-2,853 raus habe.
Irgendwie ist das aber alles total falsch glaub ich, jedenfalls wenn ich mir die Funktion von funkyplot zeichnen lasse.
Könnt ihr mir sagen, mit was ich anfangen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Di 30.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ute,
> Bei dieser o. genannten Funktion müssen wir NS, HP/TP,
> Wendepunkte und Sattelpunkte herausfinden.
> Ich habe so angefangen, dass ich [mm] x^4 [/mm] ausgeklammert habe,
> danach hab ich eine Nullstelle erraten: 2/0 und mit dieser
> Polynomdivision gemacht. Dann pq-Formel und da hab ich auch
> bei beiden x-Stellen 2/0 raus.
> dann hab ich die 1. Ableitung gemacht
> [mm] (7x^6-36x^5+60x^4-32x³)und [/mm] dabei x³ ausgeklammert und
> wieder eine NS erraten, die auch 2/0 ist. Mit dieser habe
> ich wieder Polynomdivison und pq Formel gemacht, wo ich
> x1=5,995 und x2=-2,853 raus habe.
> Irgendwie ist das aber alles total falsch glaub ich,
> jedenfalls wenn ich mir die Funktion von funkyplot zeichnen
> lasse.
> Könnt ihr mir sagen, mit was ich anfangen muss?
Deine Vorgehensweise ist absolut richtig, es kann sich hier eigentlich nur um einen Rechenfehler handeln.
Ich überprüfe mal deine Ergebnisse:
[mm] $f(x)=x^7-6x^6+12x^5-8x^4$
[/mm]
[mm] $f'(x)=7x^6-36x^5+60x^4-32x^3$
[/mm]
Nullstellen
$f(x)=0$
[mm] $\gdw x^7-6x^6+12x^5-8x^4=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^4*(x^3-6x^2+12x-8)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x = [mm] 0\;\;\vee\;\;x^3-6x^2+12x-8=0$ [/mm] (*)
$2$ ist tatsächlich eine Nullstelle, die Polynomdivision liefert:
[mm] $(x^3-6x^2+12x-8):(x-2)=x^2-4x+4=(x-2)^2
[/mm]
(*) [mm] $\gdw [/mm] x = [mm] 0\;\;\vee\;\;(x-2)*(x-2)^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x = [mm] 0\;\;\vee\;\;(x-2)^3=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x = [mm] 0\;\;\vee\;\;x=2$
[/mm]
Deine Nullstellen sind also richtig, sie lauten [mm] $\green{x=0}$ [/mm] oder [mm] $\green{x=2}$.
[/mm]
Nullstellen der 1. Ableitung
$f'(x)=0$
[mm] $\gdw 7x^6-36x^5+60x^4-32x^3=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^3*(7x^3-36x^2+60x-32)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x=0\;\;\vee\;\;7x^3-36x^2+60x-32=0$
[/mm]
Auch hier ist $2$ wieder eine Lösung der rechten Gleichung, die Polynomdivision liefert:
[mm] $(7x^3-36x^2+60x-32):(x-2)=7x^2-22x+16$
[/mm]
Zu berechnen sind also noch die Lösungen von [mm] $7x^2-22x+16=0\gdw x^2-\bruch{22}{7}+\bruch{16}{7}=0$
[/mm]
 p/q-Formel anwenden:
[mm] $x_{1,2}=\bruch{22}{14}\pm\wurzel{\bruch{11^2}{7^2}-16}=\bruch{11}{7}\pm\wurzel{\bruch{121}{49}-\bruch{784}{49}}=\bruch{11}{7}\pm\wurzel{-\bruch{663}{49}}$
[/mm]
Hier sieht man nun, dass es keine weitere Nullstellen der ersten Ableitung gibt (denn der Radikand ist negativ).
Das ist also dein einziger Fehler, du hast da ja zwei Lösungen der p/q-Formel raus (Vorzeichenfehler vielleicht?)
Zum Vergleich der Plot:
[mm] $\red{f(x)=x^7-6x^6+12x^5-8x^4}$
[/mm]
[mm] $\green{f'(x)=7x^6-36x^5+60x^4-32x^3}$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
P.S.: Darf ich aus deiner Erwähnung und Benutzung von ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot schließen, dass es deinen Gefallen gefunden hat? (Falls nicht wäre ich sehr für Kritik dankbar  )
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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