faires spiel,Martingal; Stoppz < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hans hat ein Startkapital x und spielt ein faires Münzwürfspiel. Zeigt die Münze Zahl, gewinnt er 1 €, zeigt sie Kopf, verliert er 1€. Hans möchte aufhören wenn er insgesamt b € hat. Er muss aufhören, wenn er nur noch den Betrag a hat.
es gilt [mm] a
[mm] T_{a}:=min(n \in \IN | S_{n}}=a)[/mm] und [mm] T_{b}:=min(n \in \IN | S_{n}=b)[/mm]
a) zur Zeigen ist dass S ein Martingal ist, hinsichtlich der von [mm] (X_{n})n \in \IN[/mm] erzeugten Filtration.
b)Zeige, dass sowohl [mm] T_{a},T_{b} [/mm] wie auch [mm] T:=T_{a}∧T_{b} [/mm] Stoppzeiten sind, hinsichtlich der von [mm](X_{n})n \in \IN[/mm] |
erzeugten Filtration.
Hallo zusammen, ich habe Fragen zu eine Aufgabe, Teil a habe ich wie unten gezeigt gelöst, bei Teil b bin ich überfragt. Wäre toll wenn ihr mir helfen könntet.
hier mein Ansatz
a) zur Zeigen ist dass S ein Martingal ist, hinsichtlich der von [mm](Xn)n∈\IN [/mm]
Mein Ergebnis:
[mm]E(S_{n+1}| x,X_{1},X_{n})=E(S_{n} | x,X_{1},...,X_{n})+E(X_{n+1} | x,X_{1},...,X_{n})=S_{n}+E(X_{n+1})=S_n[/mm]
Das Kapital von Hans lässt sich als Martingal modelieren.
b) keine ahnung :-(
Danke Euch jetzt schon
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Hiho,
> a) zur Zeigen ist dass S ein Martingal ist, hinsichtlich der von [mm](X_{n})n \in \IN[/mm]
der von [mm] X_n [/mm] was?
> Stoppzeiten sind, hinsichtlich der von [mm](X_{n})n \in \IN[/mm]
der von [mm] X_n [/mm] was?
> Mein Ergebnis:
>
> [mm]E(Sn+1| x,X1,Xn)=E(Sn | x,X1,...,Xn)+E(Xn+1 | x,X1,...,Xn)=Sn+E(Xn+1)=Sn[/mm]
Grausig aufgeschrieben. Nutze bitte den Formeleditor. Indizes sind nun wahrlich nicht schwer.
Die Umformungen sind aber in Ordnung, allerdings solltest du deine Schritte alle noch begründen.
> b) keine ahnung :-(
Wie wäre es, wenn man erst einmal die Definition einer Stoppzeit hinschreibt?
Dann wüsste man zumindest, was man zu zeigen hat....
Gruß,
Gono.
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Ich habe den Formeleditor benutzt... :-( Ich werde mir mehr Mühe geben.
> a) zur Zeigen ist dass S ein Martingal ist, hinsichtlich
> der von [mm](X_{n})n \in \IN[/mm]
>
> der von [mm]X_n[/mm] was?
>
> Stoppzeiten sind, hinsichtlich der von [mm](X_{n})n \in \IN[/mm]
>
> der von [mm]X_n[/mm] was?
>
>
beide male sollte da stehen Hinsichtlich der von [mm](X_n)_{n \in \IN}[/mm] erzeugten Filtration.
Definition der Stoppzeit:
Definition. Sei [mm](\Omega,\mathcal{F}, P)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration [mm] (\mathcal{F}_t)_t [/mm].
Eine Zufallsvariable [mm] T : \Omega \to [0,\infty[ [/mm] heißt Stoppzeit wenn gilt [mm] \{T \le t \} \in \mathcal{F}_t[/mm] für alle t.
Man definiert [mm]\mathcal{F}_t := \{A \in \mathcal{F} |A \cap \{T \le t \} \in
\mathcal{F}_t & \forall & t\} [/mm]
leider weiß ich nicht wie ich vorgehen soll
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Hiho,
> Ich habe den Formeleditor benutzt... :-(
Ja, im Nachhinein. Nun sieht es auch prompt besser aus 
Tipp: Vorschaufunktion 
> Definition der Stoppzeit:
>
> Definition. Sei [mm](\Omega,\mathcal{F}, P)[/mm] ein
> Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration [mm](\mathcal{F}_t)_t [/mm].
>
> Eine Zufallsvariable [mm]T : \Omega \to [0,\infty[[/mm] heißt
> Stoppzeit wenn gilt [mm]\{T \le t \} \in \mathcal{F}_t[/mm] für
> alle t.
Ja. Wobei ihr vermutlich eher [mm]T : \Omega \to [0,\infty][/mm] definiert habt.
Es ist also zu zeigen: [mm] $\{T_a \le n\} \in \sigma(X_1,\ldots,X_n)$
[/mm]
Na dann mal los: Definition von [mm] T_a [/mm] einsetzen, Definition des [mm] \inf [/mm] nutzen und Eigenschaften der Meßbarkeit.
> Man definiert [mm]\mathcal{F}_t := \{A \in \mathcal{F} |A \cap \{T \le t \} \in \mathcal{F}_t & \forall & t\}[/mm]
Das ist was ganz anderes und zumal falsch aufgeschrieben. Es gilt [mm]\mathcal{F}_T := \{A \in \mathcal{F} |A \cap \{T \le t \} \in \mathcal{F}_t & \forall & t\}[/mm]
Mach dir den Unterschied klar!
Gruß,
Gono.
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Hier mein Versuch:
Betrachte
[mm] T_a= inf \{n \in \IN :| x \in \IN \le b, S_n=a \}| \ge n} [/mm]
die Zeit des n-ten Wurfes von [mm]S_{n \in |IN} [/mm] in a. Zeigen nun, dass [mm]T_a[/mm] eine Stoppzeit bezüglich [mm] \mathcal{F} [/mm] ist.
Sei dazu [mm] p \in \IN[/mm]
dann gilt:
[mm] \{T_1 \le p\} = \{ \forall x \le X_1 < X_2 < ...
Nun ist [mm] S_n_i=a} \in \mathcal{F}_{n_i} [/mm] und wegen [mm] n_i \le p \forall b \le i \le m [/mm] gilt [mm]\mathcal{F}_{n_i} \subset \mathcal{F}_{p}[/mm]
Da [mm] \sigma[/mm] Algebren stabil unter abzählbaren durchnitten und Vereinigungen sind, folgt [mm] \{T_a \le p \} \in \mathcal{F}_{p} [/mm]
Dazu muss ich zugeben, dass ich mir ein Beispiel angeschaut habe wo [i.i.d. gleichverteilte Zufallsvariablen mit den Werten 1 und -1] gegeben waren und versucht habe diese zu modifizieren.
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Hiho,
da das alles mehr oder weniger Schmu ist (bis auf ein paar Begründungen, die du auch im richtigen Beweis brauchst), fangen wir mal neu an.
[mm] $\{T_a \le n\} [/mm] = [mm] \left\{\inf \{n\in \IN | S_n = a\} \le n\right\} [/mm] = [mm] \bigcup_{k=0}^n \{S_k = a\}$
[/mm]
Erkläre mir das letzte Gleichheitszeichen mal bitte in Worten.
Gruß,
Gono.
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Ich hoffe ich blamiere mich jetzt nicht...
Also in Worte würde ich salopp sagen:
eine aufsteigende folge mit [mm] S_0 \subset S_1 \subsetS_2 \subset... \subset S_n [/mm] und das letzter Glied dieser Folge hat den Wert [mm]S_n=a[/mm]
...
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Hiho,
> eine aufsteigende folge mit [mm]S_0 \subset S_1 \subsetS_2 \subset... \subset S_n[/mm]
Das ist doch schon falsch. Du hast gezeigt, dass [mm] S_n [/mm] ein Martingal ist, wie soll es denn dann eine aufsteigende Folge sein??
[mm] S_n [/mm] verhält sich für jedes [mm] \omega [/mm] unterschiedlich und zwar gerade so, dass [mm] S_n [/mm] sich im Mittel über alle [mm] \omega [/mm] nicht ändert.
> und das letzter Glied dieser Folge hat den Wert [mm]S_n=a[/mm]
Das deutet darauf hin, dass du [mm] T_a [/mm] nicht verstanden hast, fangen wir also da mal klein klein an:
Beschreibe doch mal die Stoppzeit [mm] T_a [/mm] in Worten.
[mm] "T_a(\omega) [/mm] ist ...."
Dann mal los.
Gruß,
Gono.
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[mm] T_a [/mm] bezweckt einen Abbruch, sobald a erreicht wurde. Hat [mm] S_n [/mm] den Wert a angenommen, so ist das ein Stopp Kriterium, dieser wert darf nicht unterschritten werden. es ist eine untere Schranke.
Anschaulich gesprochen läuft der Prozess so lange gemäß der Definition von bis die Stoppzeit erreicht ist. Ab diesem Zeitpunkt wird der Prozess dann angehalten und behält für alle zukünftigen Zeiten den Wert zur Stoppzeit
so verstehe ich das zumindestens :(
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Hiho,
> [mm]T_a[/mm] bezweckt einen Abbruch
> Anschaulich gesprochen läuft der Prozess so lange gemäß
> der Definition von bis die Stoppzeit erreicht ist. Ab
> diesem Zeitpunkt wird der Prozess dann angehalten und
> behält für alle zukünftigen Zeiten den Wert zur Stoppzeit
>
> so verstehe ich das zumindestens :(
ja, du beschreibst allgemein den Begriff einer Stoppzeit.
Aber jetzt mal unabhängig von dem Begriff Stoppzeit ist [mm] T_a [/mm] ja selbst eine Zufallsvariable, die [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] auf eine natürliche Zahl abbildet.
Auf welche?
Ich will einfach nur wissen, ob du verstehst, was die Abbildung [mm] T_a [/mm] macht.
Denn nur so kannst du selbst mal auf die Umformungen kommen, die man dir hier vormachen könnte.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
könnte man es so begründen?
[mm]\inf\{m\ge 0: S_m(\omega)=a\}\le n[/mm] [mm]\gdw[/mm] es existiert ein [mm]m\in\{0,...,n\}[/mm]: [mm]S_m(\omega)=a[/mm]
also [mm]\{\inf\{m\ge 0: S_m(\omega)=a\}\le n\}=\bigcup_{m=0}^{n}\{S_m=a\}[/mm]
Nun ist [mm]\{S_m=a\}\in\sigma(X_1,...,X_m)\subset\sigma(X_1,...,X_n)[/mm] für [mm]0\le m\le n[/mm]
und damit ist auch die Vereinigung in [mm]\mathcal F_n=\sigma(X_1,...,X_n)[/mm].
Folglich ist [mm] $T_a$ [/mm] Stoppzeit.
LG
Fry
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Hiho,
alles perfekt so.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
danke schön :),
nun zum Beweis [mm]T_a\cdot T_b[/mm] ist Stoppzeit:
[mm]T_a(\omega)\le T_b(\omega)\le T_b(\omega)\cdot T_a(\omega)[/mm].
[mm]\Rightarrow[/mm][mm]( T_b\cdot T_a(\omega)\le n \Rightarrow T_a(\omega)\le n)[/mm]
[mm]\Rightarrow \{T_a\cdot T_b\le n\}\subset \{T_a\le n\}\in\mathcal F_n[/mm], da [mm]T_a[/mm] [mm](\mathcal F_n)[/mm]-Stoppzeit.
LG
Fry
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Hiho,
> nun zum Beweis [mm]T_a\cdot T_b[/mm] ist Stoppzeit:
Erstmal: Das soll gar nicht gezeigt werden. Im Ursprungspost ist eine Formelfehler, so dass das [mm] \wedge [/mm] nicht dargestellt wird.
Zu zeigen ist: $T = [mm] T_a \wedge T_b [/mm] = [mm] min\{T_a,T_b\}$ [/mm] ist Stoppzeit.
Das ist aber trivial für [mm] T_a [/mm] und [mm] T_b [/mm] Stoppzeit.
> [mm]T_a(\omega)\le T_b(\omega)\le T_b(\omega)\cdot T_a(\omega)[/mm].
Die Aussage gilt ührigens nicht, warum sollte sie auch?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
Ich dachte, da $a<b$ ist, dass dann [mm] $\inf\{m\ge0: S_m(\omega)=a\}\le \inf\{m\ge0: S_m(\omega)=b\}$ [/mm] und solange die Infima [mm] $\not=0$ [/mm] sind, ist das Produkt der beiden
auch größer als die einzelnen Infima.
LG
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich dachte, da [mm]a
Dann würde für jeder Weg ja unweigerlich immer zuerst a erreichen, bevor er b erreicht. D.h. es würde IMMER gelten $T = [mm] T_a$. [/mm] In einem fairen Spiel und gleichem Abstand zu x sollte aber beides gleich wahrscheinlich sein.
> und solange die Infima [mm]\not=0[/mm] sind, ist das Produkt der beiden auch größer als die einzelnen Infima.
Ja das ist klar, aber deine Grundannahme ist halt grundlegend falsch.
Gruß,
Gono
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| Aufgabe | c) Benutze das Optional Stopping Theorem für das Martingal [mm]S[/mm] und die Stoppzeit T um zu zeigen, dass die Ruinwahrscheinlichkeit gilt:
[mm]r_x := P_x [/mm]{Hans verliert}:= [mm]P_x [/mm]{Konto erreicht Level a ohne vorher Level b zu erreichen} = [mm]\bruch{x-b}{a-b} [/mm]
Hinweis Betrachte [mm] E[S_{T \wedge n}] [/mm] und gehe dann zum Limes [mm] n \to \infty [/mm] |
Mein Ansatz
Hab mich ein wenig umgelesen und kann diesen Ansatz bitten
Hans spielt bis b (bis er gewinnt) oder nur noch a (bankrott) hat
Sei S eine einfache Irrfahrt [mm] S_n:= \summe_{i=1}^{n} X_i[/mm]
[mm] T_a, T_b [/mm] sind Stoppzeiten und somit [mm]T_a, T_b= min{ T_a,T_b} [/mm]
desweiteren gilt:
[mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm] S_n= \infty f.s[/mm]
ich glaube hier kann ich lim inf weglassen. Falls nicht: [mm] \limes inf_{n\rightarrow -\infty}[/mm] [mm] S_n= -\infty f.s[/mm]
also gilt [mm] T_a < ßinfty f.s [/mm]
Also werden die werte a und b f.s angenommen. Nach dem Optional Stopping Theorem ist [mm] S_{n}^{T_{a,b}} [/mm] ein Martingal, da [mm]S_n[/mm] ein Martingal ist.
Da [mm] [mm] |S_{n}^{T_{a,b}}| [/mm] durch (a+b) beschränkt ist, ist das richtig? durch (a+b) beschränkt folgt:
ab hier bin ich sehr unsicher. Ich setze x mit ein, da es am Anfang der Aufgabe gegeben war, bin aber nicht sicher ob das korrekt ist
[mm] 0= \limes_{n\rightarrow\infty} E(S_{n}^{T_{a,b}} =\lime0 s_{n\rightarrow\infty}E(S_{min \{T_{a,b,n}\}})= E(S_t_{a,b})= a*P(T_{a,b}+b*P(T_{a,b}=T_b)+x [/mm]
+x weil ich der Meinung bin. das Startkapital muss vermerkt sein, ist das falsch?
[mm]= b +(a+b)*P(T_{a,b}=T_a)+x
\Rightarrow P(T_{a,b}=T_a)= - (\bruch{x+b}{a+b}) =\bruch{x-b}{a-b} [/mm]
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Hiho,
was sagt dir das Optional Stopping Theorem über [mm] $S_n^T$?
[/mm]
Welche Werte kann [mm] S_T [/mm] annehmen?
Was ist demzufolge [mm] $E[S_T]$?
[/mm]
Machen wir erstmal das....
edit: Habe jetzt erst deinen Ansatz gesehen, warum nicht gleich so?
Der Ansatz ist ok, auch wenn noch etwas wild begründet.
Also etwas strukturierter:
1.) Laut Optional Stopping Theorem ist [mm] S_n^T [/mm] ?
2.) Damit ist [mm] E[S_n^T] [/mm] ?
3.) Betrachte nun [mm] \lim_{n\to\infty}E[S_n^T]
[/mm]
4.) [mm] E[S_T] [/mm] ist?
Die Gleichung hast du dann korrekt aufgelöst.
Gruß,
Gono.
Gruß,
Gono.
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