faktorieller ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 So 26.07.2009 | | Autor: | liz999 |
| Aufgabe | In einem faktoriellen Ring gilt:
[mm] g^n [/mm] teilt [mm] t^n [/mm] für g,t Element vom Ring und n aus den natürlichen Zahlen
Zeige das g auch t teilt |
also ich habe mir überlegt wenn [mm] g^n t^n [/mm] teilt.
dannn gibt es folgende relation [mm] k*g^n=t^n
[/mm]
und dann habe ich versucht das ganze über ideale zu betrachten.
Daraus habe ich gefolgert, dass
[mm] (t^n) \subseteq (g^n)
[/mm]
weiterhin habe ich noch aufgestellt das
[mm] (g^n) \subseteq (g^n-1) \subseteq [/mm] .... (g)
und das selbe für [mm] (t^n) \subseteq [/mm] ... (t)
das ganze wird stationär, da R faktorieller Ring.
so und nun hänge ich...
kann ich daraus schließen das (t) [mm] \subseteq [/mm] (g) ?
ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Mo 27.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In einem faktoriellen Ring gilt:
> [mm]g^n[/mm] teilt [mm]t^n[/mm] für g,t Element vom Ring und n aus den
> natürlichen Zahlen
> Zeige das g auch t teilt
>
> also ich habe mir überlegt wenn [mm]g^n t^n[/mm] teilt.
> dannn gibt es folgende relation [mm]k*g^n=t^n[/mm]
> und dann habe ich versucht das ganze über ideale zu
> betrachten.
Wenn du meinst...
> Daraus habe ich gefolgert, dass
> [mm](t^n) \subseteq (g^n)[/mm]
> weiterhin habe ich noch aufgestellt
> das
> [mm](g^n) \subseteq (g^{n-1}) \subseteq[/mm] .... (g)
> und das selbe für [mm](t^n) \subseteq[/mm] ... (t)
> das ganze wird stationär, da R faktorieller Ring.
Nun, das sind endliche Ketten, womit da nix stationaer werden kann. Stationaer braucht man nur fuer unendliche Ketten.
(Und: bei faktoriellen Ringen hast du die Stationaer-Bedingung auch erstmal nur fuer Ketten von Hauptidealen, nicht von beliebigen Idealen! Dazu braeuchtest du einen Noetherschen Ring, etwa einen Hauptidealring!)
> so und nun hänge ich...
> kann ich daraus schließen das (t) [mm]\subseteq[/mm] (g) ?
Aus dem was du geschrieben hast? Gar nicht.
Arbeite direkt mit $t$ und $g$, und benutze dass du eine eindeutige Primfaktorzerlegung hast.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Mo 27.07.2009 | | Autor: | liz999 |
guten morgen, danke für dein antwort.
das verstehe ich ganz gut.
wenn ich das in primfaktoren zerlege komme ich aber auch nur soweit.
dass
[mm] \bruch{t^n}{g^n} [/mm] =
[mm] \bruch{(p_1^{s_1}*p_2^{s_2} \ldots p_r^{s_r})^{n}}{(b_1^{l_1}*b_2^{l_2}\ldots b_k^{l_k})^{n}}
[/mm]
dies müsste eine natürliche zahl sein.
und nun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Mo 27.07.2009 | | Autor: | liz999 |
das sollte jeweils primzahl (mit index) hoch einem Exponenten mit Index heißen.
Ging schief
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Mo 27.07.2009 | | Autor: | statler |
> das sollte jeweils primzahl (mit index) hoch einem
> Exponenten mit Index heißen.
> Ging schief
Erstens ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
und zweitens habe ich das korrigiert, dabei habe ich den Index n auf r geändert, da Index und Exponent unabhängig sind.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Mo 27.07.2009 | | Autor: | liz999 |
Danke schön.
Kannst du mir evtl auch weiterhelfen, wie ich die aufgabe weiterlösen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 27.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> guten morgen, danke für dein antwort.
> das verstehe ich ganz gut.
>
> wenn ich das in primfaktoren zerlege komme ich aber auch
> nur soweit.
> dass
> [mm]\bruch{t^n}{g^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(p_1^{s_1}*p_2^{s_2} \ldots p_r^{s_r})^{n}}{(b_1^{l_1}*b_2^{l_2}\ldots b_k^{l_k})^{n}}[/mm]
>
> dies müsste eine natürliche zahl sein.
Nein, nur eine aus dem Rng.
Mal ein paar Gedanken, die hoffentlich helfen: jeder Primteiler p von [m]t^n[/m] ist auch einer von t, und zwar so, dass genau dann wenn [m]p^l|t[/m] gilt, auch [m]p^{l*n}|t^n[/m] gilt. Das gleiche gilt für g. Wenn also [m]p^{l*n}|g^n[/m] teilt, so kommt in g der Primfaktor p [m]l'*n, l\le l'[/m] vor, und damit ist [m]p^{l'}[/m] Primfaktor von g - und damit teilt dann jeder Primfaktor von t eine von g, und damit teilt t g.
SEcki
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