fast sichere Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Fr 16.01.2009 | | Autor: | ThommyM |
Habe eine vielleicht etwas dumme Frage, aber trotzdem bin ich mir nicht ganz sicher.
Angenommen, ich habe eine Zufallsvariable X, die fast sicher endlich ist. Konvergiert dann 1/n*X fast sicher gegen null?
Da 1/n gegen null konvergiert, müsste das ja eigentlich so sein, oder?
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Die Frage ist gar nicht so dumm. Denn man muss sich zunächst mal überlegen, was es eigentlich bedeutet, dass eine ZV f.s. endlich ist. Da können wir sagen, dass
[mm]\lim_{x\to \infty} P(X>x)=0[/mm]
Was dich jetzt interessiert, ist
[mm]P\left(\bruch{X}{n}>\bruch{1}{k}\right)[/mm] für beliebige aber feste [mm]k\in \IN[/mm]. Es gilt aber
[mm]P\left(\bruch{X}{n}>\bruch{1}{k}\right) = P\left(X >\bruch{n}{k}\right) [/mm] und wir wissen ja schon, dass
[mm]\lim_{n\to \infty} P\left(X >\bruch{n}{k}\right)=0[/mm]
Das gilt für beliebige k, also für alle. Damit ist gezeigt, dass sich die Masse für [mm]\bruch{X}{n} [/mm] im Nullpunkt konzentriert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Sa 17.01.2009 | | Autor: | ThommyM |
Super, danke!
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