fast sichere / L^1 Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 05.02.2013 | | Autor: | ponyka87 |
Hallo :)
Ich wollte nur kurz nachfragen, wo in meiner Denkweise der Haken liegt (oder ob es vlt doch stimmt)? Und zwar geht es darum, dass man eine Folge von Zufallsvariablen hat, für die gilt [mm] |X_n|\to [/mm] 0 fast sicher. Kann man daraus ableiten dass dann auch [mm] E|X_n| \to [/mm] 0 ? Im Allgemeinen folgt doch aus fast sicherer Konvergenz nicht [mm] L^1 [/mm] Konvergenz, außer man hat eine integrierbare Majorante. Aber kann ich mir die nicht in diesem Fall konstruieren?
Und zwar, da [mm] |X_n| \to [/mm] 0 fast sicher, existiert eine Menge A mit P(A)=1 so dass für alle [mm] \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon)\in\IN [/mm] so dass
[mm] |X_n|(\omega)\leq \varepsilon, \forall n\ge N(\varepsilon) [/mm] und [mm] \forall \omega\in [/mm] A.
Und wenn ich dann zum Beispiel [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] wähle, weiß ich dass für [mm] n\ge [/mm] N(1/2) gilt [mm] |X_n|\leq [/mm] 1/2, P-f.s. also ist 1/2 eine integrierbare Majorante und deswegen würde ich die Konvergenz von [mm] E|X_n| [/mm] nach null erhalten.
Oder wo liegt mein Denkfehler?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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Hiho,
> Und zwar geht es darum, dass man eine Folge von Zufallsvariablen hat, für die gilt [mm]|X_n|\to[/mm] 0 fast sicher. Kann man daraus ableiten dass dann auch [mm]E|X_n| \to[/mm] 0 ?
Nein.
Einfaches Gegenbeispiel: [mm] $X_n [/mm] = [mm] n*1_{\left[0,\bruch{1}{n}\right]}$
[/mm]
Was nun an deinem Gedankengang kaputt geht, kannst du dir ja selbst mal überlegen 
Gruß,
Gono.
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