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| Aufgabe | berechne die fläche des parallelogramms ABCD.
geg: A(0;0;0), B(1;0;-3), C(-4;6;-1) |
die formel für den flächeninhalt eines parallelogramms ist ja:
[mm] \left| \vec a \times \vec b \right| [/mm]
sollte man bei so einer aufgabe vorher den punkt D ausrechnen?
woher weiß ich denn, ob es ein normales parallelogramm ist, oder ein überschlagenes, also woher weiß ich, ob
[mm] \left| \vec AB \right| [/mm] = [mm] \left| \vec DC \right| [/mm] oder
[mm] \left| \vec AB \right| [/mm] = [mm] \left| \vec CD \right| [/mm] oder ganz anders?
ich hab also bei der aufgabe [mm] \left| \vec AB \times \vec AC \right| [/mm] gerechnet und dabei kommt raus: 23. und das ist laut lösungsheft auch das richtige ergebnis. aber ich hätte ja auch das vektorprodukt von BA und BC oder CA und CB oder DA und irgendwas usw. nehmen können, dann kommt ja aber das falsche raus...
woher weiß ich nun, welche vektoren ich fürs vektorprodukt brauche?
danke...:)
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> berechne die fläche des parallelogramms ABCD.
> geg: A(0;0;0), B(1;0;-3), C(-4;6;-1)
> die formel für den flächeninhalt eines parallelogramms ist
> ja:
> [mm]\left| \vec a \times \vec b \right|[/mm]
> sollte man bei so einer aufgabe vorher den punkt D
> ausrechnen?
> woher weiß ich denn, ob es ein normales parallelogramm
> ist, oder ein überschlagenes, also woher weiß ich, ob
> [mm]\left| \vec AB \right|[/mm] = [mm]\left| \vec DC \right|[/mm] oder
> [mm]\left| \vec AB \right|[/mm] = [mm]\left| \vec CD \right|[/mm] oder ganz
> anders?
> ich hab also bei der aufgabe [mm]\left| \vec AB \times \vec AC \right|[/mm]
> gerechnet und dabei kommt raus: 23. und das ist laut
> lösungsheft auch das richtige ergebnis. aber ich hätte ja
> auch das vektorprodukt von BA und BC oder CA und CB oder DA
> und irgendwas usw. nehmen können, dann kommt ja aber das
> falsche raus...
> woher weiß ich nun, welche vektoren ich fürs vektorprodukt
> brauche?
>
> danke...:)
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salute erika...
also allgemein ergibt das kreuzprodukt zweier vektoren a,b (a,b linear unabhängig) immer einen vektor c, welcher orthogonal auf a, b steht und dessen betrag gleich dem flächeninhalt des von a,b aufgespannten parallelogramms ist.
das heißt fürs vektorprodukt brauchst du die beiden vektoren die das parallelogramm aufspannen...in deinem beispiel wären das [mm] $\vec [/mm] AB$ und [mm] $\vec [/mm] BC$. ob nun [mm] $\vec [/mm] AB$ oder [mm] $\vec [/mm] BA$ spielt keine rolle, da dadurch der vektor nur in die entgegengesetzte richtung zeigt, der betrag (die länge) allerding gleich bleibt...in deinem fall hast du allerdings auch recht, dass das kreuxprodukt mit der diagonalen [mm]\left| \vec AB \times \vec AC \right|[/mm] den selben flächeninhalt ergibt.
denn die fläche eines parallelogramms ist ja [mm] $A=ah_{a}$ [/mm] und wenn du dir nun eine skizze eines parallelogramms machst und gegen den uhrzeiersinn beschriftest. dann siehst du, das der flächeninhalt gleich bleibt, wenn du die seite CD so verschiebst, dass C auf D liegt
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