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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 13.05.2011 | | Autor: | susi111 |
hallo,
ich soll die dreieckfläche zwischen den punkten
P1(747|651|587)
P2(622|1043|1000)
P3(750|1007|590)
ausrechnen.
jetzt hab ich zuerst die gerade g12 (=gerade zwischen P1 und P2) gebildet:
g12: [mm] \vektor{747 \\ 651\\587}+t*\vektor{-125 \\ 392\\413}
[/mm]
da die formel für ein dreieck (g*h)/2 ist, muss ich h herausfinden.
h ist orthogonal zu g12 und hat den ortsvektor [mm] \vektor{750 \\ 1007\\590} [/mm] (=gegenüberliegende punkt zu g12)
das bedeutet nach hin-und herrechnen, dass
h: [mm] \vektor{750 \\ 1007\\590}+u*\vektor{ \bruch{324233}{125}\\ 392\\413} [/mm] (der richtungsvektor von h ist orthogonal zu g12; wenn man skalarmultipliziert, sieht man das auch)
jetzt könnte ich ja theoretisch die gerade g12 und gerade h gleichsetzen, um den schnittpunkt zu finden.
mit dem schnittpunkt könnte ich dann die strecke zwischen diesem schnittpunkt und dem gegenüberliegenden punkt zu g12 berechnen.
damit hätte ich die stecke der höhe.
dann muss ich nur noch die strecke von P1 zu P2 berechen, dann die formel für die dreiecksfläche anwenden, also (g*h)/2.
das problem:
ich habe entweder etwas falsch gerechnet oder ich hab einen fehler in meinem denken, da beim gleichsetzen kein ergebnis rauskommt. könnt ihr mir helfen?
danke!
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Hallo,
nachgerechnet habe ich jetzt nicht. Aber gehen wir mal davon aus, dass die drei Punkte nicht kollinear sind, dann muss es einen Schnittpunkt geben, d.h., da muss irgendwo ein Rechenfehler sein.
Deine Vorgehensweise ist richtig. Allerdings zeigt sich hier einmal wieder, dass unterschiedliche Rechenverfahren unterschiedlich gut für große Zahlen geeignet sind. Folgende Möglichkeiten wären IMO geeigneter:
i). Stelle die Gleichung einer Hilfsebene auf, die orthogonal auf der Strecke zwischen den ersten beiden Punkten steht und die den dritten Punkt enthält. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden durch die ersten beiden Punkte ist natürlich auch der Lotfußpunkt.
ii). Mit dem Kreuzprodukt berechnet sich eine Dreiecksfläche zu:
[mm]A_{Dreieck}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}[/mm]
wobei a und b zwei Seitenvektoren des Dreiecks sind.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 13.05.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hallo,
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> nachgerechnet habe ich jetzt nicht. Aber gehen wir mal
> davon aus, dass die drei Punkte nicht kollinear sind, dann
> muss es einen Schnittpunkt geben, d.h., da muss irgendwo
> ein Rechenfehler sein.
was heißt kollinear?
> Deine Vorgehensweise ist richtig. Allerdings zeigt sich
> hier einmal wieder, dass unterschiedliche Rechenverfahren
> unterschiedlich gut für große Zahlen geeignet sind.
> Folgende Möglichkeiten wären IMO geeigneter:
was heißt imo?
> i). Stelle die Gleichung einer Hilfsebene auf, die
> orthogonal auf der Strecke zwischen den ersten beiden
> Punkten steht und die den dritten Punkt enthält. Der
> Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden durch die ersten
> beiden Punkte ist natürlich auch der Lotfußpunkt.
>
> ii). Mit dem Kreuzprodukt berechnet sich eine
> Dreiecksfläche zu:
>
> [mm]A_{Dreieck}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}[/mm]
kann ich auch rechnen:
[mm] 0,5*|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|
[/mm]
> wobei a und b zwei Seitenvektoren des Dreiecks sind.
>
> Gruß, Diophant
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> > Hallo,
> >
> > nachgerechnet habe ich jetzt nicht. Aber gehen wir mal
> > davon aus, dass die drei Punkte nicht kollinear sind, dann
> > muss es einen Schnittpunkt geben, d.h., da muss irgendwo
> > ein Rechenfehler sein.
>
> was heißt kollinear?
>
Das heißt so viel wie daß die Punkte auf einer Graden liegen, und damit kein Dreieck bilden.
> > Deine Vorgehensweise ist richtig. Allerdings zeigt sich
> > hier einmal wieder, dass unterschiedliche Rechenverfahren
> > unterschiedlich gut für große Zahlen geeignet sind.
> > Folgende Möglichkeiten wären IMO geeigneter:
>
> was heißt imo?
"In my opinion" - Meiner Meinung nach
>
> > i). Stelle die Gleichung einer Hilfsebene auf, die
> > orthogonal auf der Strecke zwischen den ersten beiden
> > Punkten steht und die den dritten Punkt enthält. Der
> > Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden durch die ersten
> > beiden Punkte ist natürlich auch der Lotfußpunkt.
> >
> > ii). Mit dem Kreuzprodukt berechnet sich eine
> > Dreiecksfläche zu:
> >
> > [mm]A_{Dreieck}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}[/mm]
>
> kann ich auch rechnen:
> [mm]0,5*|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|[/mm]
>
Nein, allgemein nicht. Das soll wohl die Formel 1/2*Grundfläche*Höhe sein. So wie du sie anwenden möchtest, ginge das nur, wenn [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] senkrecht zueinander ständen.
Was dir hier unter Lösung ii) gegeben wurde, ist das Vektorprodukt und wird tatsächlich mit einem kleinen Kreuz gekennzeichnet. Wenn ihr das hattet, solltest du es wiedererkennen.
Allerdings hat sich da ein Fehler eingeschlichen. Das Vektorprodukt gibt einem einen Vektor zurück, dessen Länge gleich dem Parallelogramm ist, das man aus den beiden EIngangsvektoren bilden kann. Korrekt ist daher:
[mm]A_\text{Dreieck}=\frac{|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|}{2}[/mm]
> > wobei a und b zwei Seitenvektoren des Dreiecks sind.
Ich hätte noch eine dritte Lösung anzubieten, denn man kann aus zwei Vektoren eines Dreiecks [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] einen Höhenvektor berechnen:
[mm] $\vec{h}_b=\vec a-\frac{\vec a*\vec b}{(\vec b)^2}*\vec [/mm] b$
Aber schön ist das auch nicht.
Es kommt sehr drauf an, was du alles zum Thema Vektorrechnung kennst, wie gesagt, mit dem Vektorprodukt ist es sehr einfach, aber das müßtet ihr zunächst behandelt haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
kollinear:auf einer Geraden liegend.
IMO: In my opinion; I-Net-Jargon für meiner Meinung nach o.ä.
Dann: die Formel war natürlich falsch. Richtig heißt es
[mm]A_{Dreieck}=\frac{1}{2}*|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|[/mm]
Sorry für meine Unachtsamkeit. Ich werde mich bessern. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 13.05.2011 | | Autor: | susi111 |
hallo
kann mir jemand meinen fehler raussuchen?
danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> hallo
>
> kann mir jemand meinen fehler raussuchen?
>
> danke!
Du hast geschrieben:
jetzt hab ich zuerst die gerade g12 (=gerade zwischen P1 und P2) gebildet:
g12: $ [mm] \vektor{747 \\ 651\\587}+t\cdot{}\vektor{-125 \\ 392\\413} [/mm] $
da die formel für ein dreieck (g*h)/2 ist, muss ich h herausfinden.
h ist orthogonal zu g12 und hat den ortsvektor $ [mm] \vektor{750 \\ 1007\\590} [/mm] $ (=gegenüberliegende punkt zu g12)
das bedeutet nach hin-und herrechnen, dass
h: $ [mm] \vektor{750 \\ 1007\\590}+u\cdot{}\vektor{ \bruch{324233}{125}\\ 392\\413} [/mm] $ (der richtungsvektor von h ist orthogonal zu g12; wenn man skalarmultipliziert, sieht man das auch)
jetzt könnte ich ja theoretisch die gerade g12 und gerade h gleichsetzen, um den schnittpunkt zu finden.
mit dem schnittpunkt könnte ich dann die strecke zwischen diesem schnittpunkt und dem gegenüberliegenden punkt zu g12 berechnen.
damit hätte ich die stecke der höhe.
dann muss ich nur noch die strecke von P1 zu P2 berechen, dann die formel für die dreiecksfläche anwenden, also (g*h)/2.
das problem:
ich habe entweder etwas falsch gerechnet oder ich hab einen fehler in meinem denken, da beim gleichsetzen kein ergebnis rauskommt.
1. Gerade werden durch Gleichungen beschrieben. Leider verwendest Du keine Gleichungen.
2. Deine Überlegungen sind in der Ebene richtig, im Raum nicht: Überlege Dir wieviele Senkrechte es zu einer Geraden im Raum gibt, die durch denselben Punkt der Geraden laufen.
3. Lies Dir noch einmal Diophants Lösungsvorschlag durch - er kommt ohne das Kreuzprodukt aus - ist aber mit Deinen Zahlen rechnerisch ziemlich barock.
Gruß
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Fr 13.05.2011 | | Autor: | susi111 |
> Guten Abend!
>
> > hallo
> >
> > kann mir jemand meinen fehler raussuchen?
> >
> > danke!
>
> Du hast geschrieben:
>
> jetzt hab ich zuerst die gerade g12 (=gerade zwischen P1
> und P2) gebildet:
>
> g12: [mm]\vektor{747 \\ 651\\587}+t\cdot{}\vektor{-125 \\ 392\\413}[/mm]
>
> da die formel für ein dreieck (g*h)/2 ist, muss ich h
> herausfinden.
> h ist orthogonal zu g12 und hat den ortsvektor [mm]\vektor{750 \\ 1007\\590}[/mm]
> (=gegenüberliegende punkt zu g12)
>
> das bedeutet nach hin-und herrechnen, dass
> h: [mm]\vektor{750 \\ 1007\\590}+u\cdot{}\vektor{ \bruch{324233}{125}\\ 392\\413}[/mm]
> (der richtungsvektor von h ist orthogonal zu g12; wenn man
> skalarmultipliziert, sieht man das auch)
>
> jetzt könnte ich ja theoretisch die gerade g12 und gerade
> h gleichsetzen, um den schnittpunkt zu finden.
>
> mit dem schnittpunkt könnte ich dann die strecke zwischen
> diesem schnittpunkt und dem gegenüberliegenden punkt zu
> g12 berechnen.
> damit hätte ich die stecke der höhe.
>
> dann muss ich nur noch die strecke von P1 zu P2 berechen,
> dann die formel für die dreiecksfläche anwenden, also
> (g*h)/2.
>
> das problem:
> ich habe entweder etwas falsch gerechnet oder ich hab
> einen fehler in meinem denken, da beim gleichsetzen kein
> ergebnis rauskommt.
>
> 1. Gerade werden durch Gleichungen beschrieben. Leider
> verwendest Du keine Gleichungen.
wenn ich [mm] ''\vec{x}'' [/mm] vor die parameterdarstellungen der geraden schreibe, dann hab ich doch eine Parameterdarstellung der geraden.
> 2. Deine Überlegungen sind in der Ebene richtig, im Raum
> nicht: Überlege Dir wieviele Senkrechte es zu einer
> Geraden im Raum gibt, die durch denselben Punkt der Geraden
> laufen.
wahrscheinlich unendlich viele.
aber ich habe doch diesen bestimmten ortsvektor [mm]\vektor{750 \\ 1007\\590}[/mm], durch den diese gerade h auch durchgehen muss. wenn ich jetzt den richtungsvektor von h hab, kann ich doch diesen ortsvektor vorsetzen oder nicht?
> 3. Lies Dir noch einmal Diophants Lösungsvorschlag durch -
> er kommt ohne das Kreuzprodukt aus - ist aber mit Deinen
> Zahlen rechnerisch ziemlich barock.
ich hab mir die vorschläge schon durchgelesen, aber wir haben sie noch nicht durchgenommen. ich hab jetzt eine formel gefunden für die fläche eines dreiecks (ich hatte sie eben falsch aufgestellt):
[mm] 0,5*|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|*sin(\alpha)
[/mm]
> Gruß
>
> Pappus
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Hallo,
Du solltest Dir - völlig unabhängig von dieser Aufgabe klarmachen, daß es zu einem vorgegebenen Richtungsvektor im dreidimensionalen Raum unendlich viele dazu senkrechte Richtungen gibt.
Stell Dir das Koordinatensystem vor.
Nimm die z-Achse. Alle Vektoren, die parallel zur xy-Ebene sind, sind senkrecht zur z-Achse.
Du hattest zuvor zwar einen zur Geraden [mm] g_1_2 [/mm] senkrechten Vektor gefunden, aber dieser liegt unglücklicherweise nicht in der Dreiecksebene!
Der Richtungsvektor, welchen Du für das, was Du tun möchtest, gebrauchen kannst, muß nicht nur senkrecht zum Richtungsvektor Deiner Geraden sein, sondern zusätzlich auch in der von [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{P_1P_3} [/mm] aufgespannten Ebene liegen.
Nennen wir den gesuchten Vektor [mm] \vec{r}, [/mm] so muß also zweierlei gelten:
es ist
1. [mm] \vec{r}=k*\overrightarrow{P_1P_2} +l*\overrightarrow{P_1P_3}, [/mm] wobei k,l reelle zahlen sind,
und
2. gilt [mm] \vec{r}*\overrightarrow{P_1P_2}=0
[/mm]
Wenn Du die erste Gleichung in die zweite einsetzt, kannst Du Dir einen passenden Richtungsvektor erobern und dann so weiterarbeiten, wie von Dir ursprünglich geplant.
Zu Deiner anderen Idee:
[mm]F_{\Delta}[/mm]=
> [mm] 0,5\cdot{}|\overrightarrow{AB}|\cdot{}|\overrightarrow{AC}|\cdot{}sin(\alpha) [/mm].
Klar, diese Formel kannst Du gut verwenden.
Wie lautet sie denn, wenn Du sie auf Dein Dreieck überträgst?
Wo bekommst Du den Winkel [mm] \alpha [/mm] her?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Sa 14.05.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hallo,
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> Du solltest Dir - völlig unabhängig von dieser Aufgabe
> klarmachen, daß es zu einem vorgegebenen Richtungsvektor
> im dreidimensionalen Raum unendlich viele dazu senkrechte
> Richtungen gibt.
>
> Stell Dir das Koordinatensystem vor.
> Nimm die z-Achse. Alle Vektoren, die parallel zur xy-Ebene
> sind, sind senkrecht zur z-Achse.
>
> Du hattest zuvor zwar einen zur Geraden [mm]g_1_2[/mm] senkrechten
> Vektor gefunden, aber dieser liegt unglücklicherweise
> nicht in der Dreiecksebene!
aber wie liegt er denn dann, wenn er trotzdem orthogonal zur geraden g12 und durch den richtigen ortsvektor geht?
ich versteh schon dein beispiel mit der z-achse und kann mir auch vorstellen, dass es unendlich viele geraden gibt, die senkrecht zu g12 ist. aber ich kann mir NICHT vorstellen, dass es unendlich viele geraden gibt, die senkreckt zu g12 sind und auch noch durch einen bestimmten ortsvektor geht.
falls ihr die frage beantworten könnt, wäre das schön. wenn nicht, dann nehm ich einfach an, dass es nicht geht.^^
> Der Richtungsvektor, welchen Du für das, was Du tun
> möchtest, gebrauchen kannst, muß nicht nur senkrecht zum
> Richtungsvektor Deiner Geraden sein, sondern zusätzlich
> auch in der von [mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{P_1P_3}[/mm] aufgespannten Ebene liegen.
> Nennen wir den gesuchten Vektor [mm]\vec{r},[/mm] so muß also
> zweierlei gelten:
>
> es ist
> 1. [mm]\vec{r}=k*\overrightarrow{P_1P_2} +l*\overrightarrow{P_1P_3},[/mm]
> wobei k,l reelle zahlen sind,
> und
> 2. gilt [mm]\vec{r}*\overrightarrow{P_1P_2}=0[/mm]
ich glaube, das ist mir zu kompliziert.^^ ich hab aber noch eine andere idee, ich glaub sie ist für mich von allen die einfachste, ich bin nur nicht drauf gekommen.
also, von vorne: ich hab drei punkte
P1(747|651|587) P2(622|1043|1000) und P3(750|1007|590)
die gerade g12 (=gerade durch P1 und P2) lautet dann:
g12: [mm] \vec{x}=\vektor{747 \\ 651\\587}+t*\vektor{-125 \\ 392\\413}
[/mm]
jetzt benutz ich die formel für den abstand zwischen punkt und gerade. für den abstand, der dann gleichzeitig die höhe ist, bekomme ich heraus
h=262,19.
für den flächeninhalt eines dreiecks gilt: 0,5*g*h
die grundseite g wäre dann die strecke von P1 zu P2. ich bekomme dafür heraus: 582,97
für den flächeninhalt gilt dann 0,5*582,97*262,19=76424,5
könnt ihr bitte schauen, ob das richtig ist, was ich gemacht hab und ob das ergebnis stimmt?
> Wenn Du die erste Gleichung in die zweite einsetzt, kannst
> Du Dir einen passenden Richtungsvektor erobern und dann so
> weiterarbeiten, wie von Dir ursprünglich geplant.
>
> Zu Deiner anderen Idee:
>
> [mm]F_{\Delta}[/mm]=
> >
> [mm]0,5\cdot{}|\overrightarrow{AB}|\cdot{}|\overrightarrow{AC}|\cdot{}sin(\alpha) [/mm].
>
> Klar, diese Formel kannst Du gut verwenden.
> Wie lautet sie denn, wenn Du sie auf Dein Dreieck
> überträgst?
> Wo bekommst Du den Winkel [mm]\alpha[/mm] her?
für den winkel hab ich die höhe h durch die strecke P1P3 geteilt. dann sin^-1 genommen. dann krieg ich für den winkel 47,7314° heraus.
insgesamt kommt bei mir für die fläche dann 76424,2 FE heraus.
ich hoffe mal, dass es stimmt.^^
> Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Pappus |
Hallo,
bei der Höhe habe ich einen geringfügig anderen Wert (262.1824067 ; wahrscheinlich haben wir andere Rundungsgewohnheiten) aber Dein Rechenweg stimmt.
Zur Kontrolle: Für die Dreiecksfläche habe ich heraus: [mm] $A_\Delta\approx [/mm] 582.9734127$
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> aber wie liegt er denn dann, wenn er trotzdem orthogonal
> zur geraden g12 und durch den richtigen ortsvektor geht?
Hallo,
schade, daß Du nicht neben mir auf dem Sofa sitzt: mithilfe eines auf den Tisch gemalten Dreiecks und eines Stiftes (=Vektor) könnte ich es Dir in Nullkommanix zeigen...
Einen Vektor, der auf [mm] P_1P_2 [/mm] senkrecht ist und nicht in der Ebene liegt, in welcher das Dreieck liegt, kannst Du Dir vorstellen?
Der eingangs von Dir gepostete Vektor war so einer.
Nun verschieb ihn parallel so, daß sich sein Fuß im Punkt [mm] P_3 [/mm] befindet.
Wenn Du den Stift nun in bei Richtungen verlängerst, hast Du Deine Gerade h aus dem Eingangspost. Sie ist windschief zu [mm] g_1_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Sa 14.05.2011 | | Autor: | susi111 |
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> > aber wie liegt er denn dann, wenn er trotzdem orthogonal
> > zur geraden g12 und durch den richtigen ortsvektor geht?
>
> Hallo,
>
> schade, daß Du nicht neben mir auf dem Sofa sitzt:
> mithilfe eines auf den Tisch gemalten Dreiecks und eines
> Stiftes (=Vektor) könnte ich es Dir in Nullkommanix
> zeigen...
>
> Einen Vektor, der auf [mm]P_1P_2[/mm] senkrecht ist und nicht in der
> Ebene liegt, in welcher das Dreieck liegt, kannst Du Dir
> vorstellen?
> Der eingangs von Dir gepostete Vektor war so einer.
> Nun verschieb ihn parallel so, daß sich sein Fuß im
> Punkt [mm]P_3[/mm] befindet.
bis hierhin ist mir alles klar und ich kann es mir jetzt super vorstellen :)
> Wenn Du den Stift nun in bei Richtungen verlängerst, hast
> Du Deine Gerade h aus dem Eingangspost. Sie ist windschief
> zu [mm]g_1_2.[/mm]
>
warum ich sie verlängern muss, weiß ich nicht, aber ich glaub ich hab das trotzdem verstanden! danke :)
> Gruß v. Angela
>
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> > Wenn Du den Stift nun in bei Richtungen verlängerst, hast
> > Du Deine Gerade h aus dem Eingangspost. Sie ist windschief
> > zu [mm]g_1_2.[/mm]
> >
> warum ich sie verlängern muss, weiß ich nicht,
Na! Weil eine Gerade im Gegensatz zu einem Stift unendlich lang ist.
> aber ich
> glaub ich hab das trotzdem verstanden! danke :)
Das freut mich sehr.
Gruß v. Angela
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