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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Fr 09.02.2007 | | Autor: | slice |
hey, man soll den flächeninhalt des dreickes ABC ausrechnen
A( -4|-1) B(6|0) C(410)
aber wie kann man das ausrechnen, ohne das kreuzprodukt anzuwenden?
habs mit 0,5*g*h auszurechnen, aber das haut nicht hin, denn das ergebnis soll 51 sein...
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Hallo slice!
> hey, man soll den flächeninhalt des dreickes ABC
> ausrechnen
> A( -4|-1) B(6|0) C(410)
>
> aber wie kann man das ausrechnen, ohne das kreuzprodukt
> anzuwenden?
> habs mit 0,5*g*h auszurechnen, aber das haut nicht hin,
> denn das ergebnis soll 51 sein...
Dann poste doch mal deinen Rechenweg! Da es nur zweidimensional ist (was auch immer dein dritter Punkt sein mag  ), kannst du für die Steigung der Geraden, auf der die Strecke h liegt, [mm] -\frac{1}{\mbox{Steigung der Geraden, auf der die Strecke g liegt}} [/mm] nehmen, falls du verstehst, was ich meine. Wenn nicht, weiß ich nicht, wie du es gerechnet hast...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 12.02.2007 | | Autor: | slice |
also ich habe die vektoren a b und c ausgerechnet, also a geht von punkt A zu B, b geht von B zu C und c geht von C zu a.. dann hab ich für vektor
a [mm] \vektor{10 \\ 1} [/mm] für vektor b [mm] \vektor{-2 \\ 10} [/mm] und für c [mm] \vektor{-8 \\ -11}
[/mm]
dann hab ich di elänge dieser vektoren berechnet, also a ist dann [mm] \wurzel{101} [/mm] b ist [mm] \wurzel{104} [/mm] und c [mm] \wurzel{185}
[/mm]
sooo damit dann über
c²=(a/2)² + h²h ausgerechnet was dann [mm] \wurzel{159,75} [/mm] ist....
und dann 1/2 * g * h = [mm] 1/2*\wurzel{101}*\wurzel{159,75}
[/mm]
weiß irgendwie immernoch nich wie ich den flächeninhalt wsonst berechne....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
wenn Du die Vektoren a und b schon ausgerechnet hast, gilt die Formel
$$
[mm] F=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|=\frac{1}{2}|10\cdot 10-1\cdot(-2)|=\frac{102}{2}=51,
[/mm]
$$
aber ich weiß nicht, ob Du diese Formel als "Kreuzprodukt" bezeichnen würdest. Mir scheint dies die einfachste Formel, wenn Du die Koordinaten der Punkt A,B und C gegeben hast.
Volker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 12.02.2007 | | Autor: | riwe |
und wieso willst du das kreuzprodukt nicht verwenden?
[mm]A=\frac{1}{2}|\vektor{8\\11\\0}\times\vektor{10\\1\\0}|=\frac{1}{2}|\vektor{-112\\0\\0}|=51[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Kulli |
hmmm also die rechnung von volker bzw die formel hatten wir noch nicht..
und als wir die aufgabe mal aufhatten, hatten wir das kreuzprodukt auch noch nicht.. haben die aber noch nie besprochen, deshalb weiß ich nicht wie mans rechnen soll...
gibts keinen "einfacheren" rechnungsweg?
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Hallo Kulli,
> hmmm also die rechnung von volker bzw die formel hatten wir
> noch nicht..
> und als wir die aufgabe mal aufhatten, hatten wir das
> kreuzprodukt auch noch nicht.. haben die aber noch nie
> besprochen, deshalb weiß ich nicht wie mans rechnen
> soll...
> gibts keinen "einfacheren" rechnungsweg?
slice hat ihn doch schon erwähnt:
hey, man soll den flächeninhalt des Dreickes ABC ausrechnen
A( -4|-1) B(6|0) C(4|0)
[mm] \frac{1}{2}g*h [/mm] ist schon richtig - leider hat slice es nicht vorgerechnet.
Allerdings ist es nicht schnell getan, die Höhe des Dreiecks auszurechnen - es sei denn, man kann nachrechnen, dass es rechtwinklig ist.
andererseits gilt in jedem spitzwinkligen Dreieck:
[mm] F=\frac{1}{2}*|AB|*|AC|*\sin(\alpha)
[/mm]
mit [mm] \cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|}
[/mm]
und [mm] \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 [/mm] kommst du dann auch ans Ziel:
[mm] F=\frac{1}{2}\wurzel{|\overrightarrow{AB}|^2*|\overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC})^2}
[/mm]
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Di 13.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
wenn Du die Herleitung von Informix Formel verstehst, solltest Du noch weiter vereinfachen und die Formel erhalten, die ich schon weiter oben angegeben habe. Dann sparst Du dir die großen Zahlen und das lästige Wurzelziehen. Nach Informix Formel gilt:
[mm] 4F^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2^2)^2=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2-(a_1b_1)^2-2a_1b_1a_2b_2-(a_2b_2)^2=
[/mm]
[mm] a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1b_1a_2b_2=(a_1b_2)^2-2(a_1b_2)(a_2b_1)+(a_2b_1)^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2
[/mm]
und also
[mm] F=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|.
[/mm]
D.h. insbesondere, dass beide Formeln "glücklicherweise" dasselbe Ergebnis liefern. Viel Spaß damit,
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 13.02.2007 | | Autor: | slice |
guuut ich weiß, ich bin ein hartnäckiger fall :)
habe das dreieck oben jetzt einfach auch nochmal mit dem kreuzprodukt ausgerechnet und da das kreuzprodukt dann durch 2 geteilt.. da komme ich auch auf die 51 flächeneinheiten..
jetzt habe ich ein gleichschenkliges dreieck:
A (4|2|0) B(2|3|0) und C (2,5|1,5|2,5)
Da habe ich es einmal ganz normal mit 1/2*g*h gerechnet, also [mm] h=\wurzel{7,5} [/mm] und [mm] g=\wurzel{5}
[/mm]
also ist A=3,062.
Das stimmt auch mit der Lösung.. Wenn ich das da aber mit dem Spatprodukt bzw kreuzprodukt mache und
als a AB nehme und b BC und das dann durch 2 teile, kommt als flächeninhalt 5 raus. wieso geht das da nicht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Di 13.02.2007 | | Autor: | riwe |
> guuut ich weiß, ich bin ein hartnäckiger fall :)
> habe das dreieck oben jetzt einfach auch nochmal mit dem
> kreuzprodukt ausgerechnet und da das kreuzprodukt dann
> durch 2 geteilt.. da komme ich auch auf die 51
> flächeneinheiten..
>
> jetzt habe ich ein gleichschenkliges dreieck:
>
> A (4|2|0) B(2|3|0) und C (2,5|1,5|2,5)
>
> Da habe ich es einmal ganz normal mit 1/2*g*h gerechnet,
> also [mm]h=\wurzel{7,5}[/mm] und [mm]g=\wurzel{5}[/mm]
> also ist A=3,062.
> Das stimmt auch mit der Lösung.. Wenn ich das da aber mit
> dem Spatprodukt bzw kreuzprodukt mache und
> als a AB nehme und b BC und das dann durch 2 teile, kommt
> als flächeninhalt 5 raus. wieso geht das da nicht???
wirst dich halt verrechnet haben, und mit dem spatprodukt geht eh nix, du hast doch nur 2 l.ua. vektoren.
[mm] \frac{1}{4}\vektor{3\\1\\-5}\times\vektor{-1\\-3\\-5}=\frac{10}{4}\vektor{1\\2\\1}\to A=\frac{5}{4}\sqrt{6}\approx [/mm] 3.0619
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