folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 20.03.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute, ich hab ein kleines problem und zwar sind ja umformung der art,
[mm] \lim_{n\to0} \bruch1{n}=\lim_{n\to\infty} [/mm] n
erlaubt, also quasi austauschen der folgen, auch in komplexeren ausdrücken, aber sowas kann man doch nicht beliebig machen oder?
ich kann doch zb nicht in einem ausdruck indem [mm] n\to\infty [/mm] beliebig [mm] \bruch{1}{n} [/mm] durch [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] vertauschen etc. da manche folgen "schneller" konvergieren als andere
weiß einer von euch wie da die regeln sind?
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Was möchtest du denn damit bezwecken???
Bei Reihen kann man vertauschen (Majorantenkriterium/Minorantenkriterium etc.) um Konvergenz zu zeigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> hey leute, ich hab ein kleines problem und zwar sind ja
> umformung der art,
>
> [mm]\lim_{n\to0} \bruch1{n}=\lim_{n\to\infty}[/mm] n
Das ist ja quark, denn die Linke Seite ist Null und die rechte Seite existiert nicht in [mm] $\IR$.
[/mm]
> erlaubt, also quasi austauschen der folgen, auch in
> komplexeren ausdrücken, aber sowas kann man doch nicht
> beliebig machen oder?
Die Frage verstehe ich nicht so richtig. Also wenn die Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] beide gegen dieselbe reelle Zahl konvergieren, dann ist halt per Definition [mm] $\lim a_n=\lim b_n$. [/mm] Wenn du eine Folge hast, wo du den Grenzwert nicht kennst, kannst du nicht einfach was austauschen, also z.B.: [mm] $$\lim \left(1+\frac{1}{n})\right)^n\stackrel{\text{?!?}}{=}\lim \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n$$ [/mm] Die linke Seite konvergiert gegen die eulersche Zahl, aber ob die linke Seite konvergiert und wogegen, ist erstmal nicht klar... sowas geht also nicht.
> ich kann doch zb nicht in einem ausdruck indem [mm]n\to\infty[/mm]
> beliebig [mm]\bruch{1}{n}[/mm] durch [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] vertauschen etc.
> da manche folgen "schneller" konvergieren als andere
Wie schnell die Folge konvergiert ist dem "Limesoperator" egal, [mm] $\lim 1/n=\lim 1/n^2$ [/mm] stimmt, denn 0=0.
Gruß, Robert
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> > [mm]\lim_{n\to0} \bruch1{n}=\lim_{n\to\infty}[/mm] n
> Das ist ja quark, denn die Linke Seite ist Null
Hallo,
irgendwie nicht, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 20.03.2009 | | Autor: | AriR |
du hast glaub ich nicht richtig hingeguckt. bei [mm] \bruch1n [/mm] steht da [mm] {n\to0} [/mm] und wenn n immer kleiner wird konvergiert der bruch gegen unendlich. ich frage nur, weil unser prof mal an einer stelle wo mal irgendwie [mm] {n\to\infty} [/mm] war und ein n in einem ausdruck vorkam das n durch [mm] \bruch1n [/mm] ersetzt hat und n gegen 0 laufen lassen hat, weil sich dadurch einiges vereinfachte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja die Sache ist die: [mm] $\lim_{x\to a}f(x)$ [/mm] ist definiert als [mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n\to [/mm] a$, falls dieser Grenzwert unabhängig von der Wahl der Folge ist. Daraus folgt insbesondere:
[mm] $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(1/n)$, [/mm] falls der linke Grenzwert existiert, denn die Folge [mm] $\left(1/n\right)_{n\in\IN}\to [/mm] 0$.
Die Umkehrung, gilt jedoch i.A. nicht, d.h. nur weil [mm] $\lim_{n\to\infty}f(1/n)$ [/mm] konvergiert, folgt nicht dass [mm] $\lim_{x\to 0}f(x)$ [/mm] existiert, denn $(1/n)$ ist ja nur eine spezielle Folge die gegen 0 geht.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Fr 20.03.2009 | | Autor: | AriR |
ahh stimmt, irgendwie sowas muss es wohl gewesen sein. gibts denn sonst irgendwelche fälle in der analysis wo man folgen die gegen den selben grenzwert streben gegeneinander umtauschen darf? egal ob bei funktion oder reinen folgen, reihen etc?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja... so pauschal kann man da jetzt nix zu sagen. Die Frage ist halt ziemlich schwammig gestellt. Im Allgemeinen kann man nicht einfach irgendwas rumtauschen wie es passt, da muss es schon gute Gründe geben 
Hast du kein konkretes Beispiel?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Fr 20.03.2009 | | Autor: | AriR |
ich hab mir die aufzeichnung besorgt.
das ging um die anwendung von l'hospital
und zwar sollte man folgendes berechnen:
[mm] lim_{n\to\infty}n-\bruch1{sin({\bruch1n})}
[/mm]
dafür hat man das dann wie folgt umgeformt:
[mm] lim_{n\to\infty}n-\bruch1{sin({\bruch1n})}=lim_{n\to0}\bruch1n-\bruch1{{sin(n)}}=...
[/mm]
wenn ich mir das jetzt genauer angucke, kapier ich das gar nicht mehr...
wird da einer von euch schlau draus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]lim_{n\to\infty}n-\bruch1{sin({\bruch1n})}=lim_{n\to0}\bruch1n-\bruch1{{sin(n)}}=...[/mm]
Nun, das ist wohl so zu verstehen: Wenn der rechte Grenzwert existiert, was wie ich annehme dan mit l'hospital gezeigt wird, dann existiert auch der linkte Grenzwert und sie sind gleich.
Edit: Ich muss schon sagen, das ist ein geniales Beispiel für den Satz von l'Hospital....
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Fr 20.03.2009 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich habs doch kapiert...
im ersten teil ist [mm] n\in\IN [/mm] und im zweiten teil ist das n "wie für funtionen definiert", also so wie du gesagt hast, dass bla bla bla für jede folge gelten muss... oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Genau. 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Fr 20.03.2009 | | Autor: | AriR |
ahhh endlich :D danke für die hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Fr 20.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Zur Information:
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
Dann ist
[mm] a_n^n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n^2})^{n^2}.
[/mm]
Somit strebt [mm] a_n^n [/mm] gegen $e$ (und zwar von unten), also
$1 [mm] \le a_n^n \le [/mm] e$ für jedes n,
somit
$1 [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{e}$ [/mm] für jedes n.
Fazit: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^{n} [/mm] = 1 $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Sehr hübsch!
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> erlaubt, also quasi austauschen der folgen,
Hallo,
mir ist nicht recht klar, worüber Du gerade reden möchtest.
Wirklich über Grenzwerte von Folgen?
Oder sprichst Du vielleicht eher über Grenzwerte von Funktionen?
Bring mal ein paar Beispiele, an denen man Deine Fragen und Bedenken etwas besser erkennt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Fr 20.03.2009 | | Autor: | AriR |
das problem ist, dass ich dass nicht mehr ganz mitschreiben konnte in der vorlesung...
der hat irgendwie einfach eineni ausdruck wie n durch [mm] \bruch1n [/mm] ersetzt und n anstatt gegen unendlich laufen zu lassen gegen 0 laufen lassen.
müsste dann irgendwie ne funktionengeschichte gewesen sein, weil man ja sonst n schlecht gegen 0 laufen lassen kann bzw es keinen groß sinn ergibt
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"sicherer" wären die Umformungen durch Substitution
$ [mm] \lim_{n\to0} \bruch1{n}\overbrace{=}^{z=1/n}\lim_{z\to\infty} [/mm] z$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Warum ist das sicherer? Weil man das Wort "Substitution" benutzt hat?
Gruß, Robert
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