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| Aufgabe | A ist eine sym reelle nxn Matrix
x,y [mm] \in R^n [/mm] und x*y sei das Skalarprodukt von beiden
ZZ.: (Ax)*y = x*(Ay) und daraus die Eigenschaft symmetrischer Matrizen folgern, dass Eigenvektroen u versch. Eigenwerten von A aufeinander senkrecht stehen. |
Hi hier noch eines meiner Problemaufgaben, obwohl die eigentlich relativ leicht aussieht komm ich nicht auf einen ansatz.
Gut: zu Zeigen ist in Worten, dass eine Symetrische Matrix die Eigenschaften, des Skalarprodukts nicht verändert? egal, welche der beiden Variablen man mit ihr Multipliziert.
Desweiteren gilt für Eigenwerte f(x) = Ax = [mm] \lambda [/mm] x - oder?
mit welcher eigenschaft kann ich aber hier arbeiten,
A = [mm] A^T [/mm] das ist auch klar. Mit dieser Eigenschaft könnte man doch die Klammerglieder sicher Verdrehen, aber was macht das Transponieren mit x,y diese würden ja nicht mehr stimmen.
auf eine seite gebracht, seh ich die lösung auch noch nicht:
(Ax)*y - x*(Ay) = 0
Sicherlich spielen hier die Eigenschaften des Skalarprodukts mit ein, jedoch welche?
Wäre über alle hinweise und tipps sehr dankbar :)
Mit freundlichen Grüßen
Mathe-mata
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> A ist eine sym reelle nxn Matrix
> x,y [mm]\in R^n[/mm] und x*y sei das Skalarprodukt von beiden
>
> ZZ.: (Ax)*y = x*(Ay) und daraus die Eigenschaft
> symmetrischer Matrizen folgern, dass Eigenvektroen u
> versch. Eigenwerten von A aufeinander senkrecht stehen.
Hallo,
ich gehe davon aus, daß mit "das Skalarprodukt von beiden" das kanonische Skalarprodukt des [mm] \IR^n [/mm] gemeint ist, also
[mm] x\*y:=x^ty.
[/mm]
Um (Ax)*y = x*(Ay) zu zeigen, brauchst Du nur diese Definition zu verwenden:
(Ax)*y=(Ax)^ty=...
Wenn Du das gezeigt hast, nimmst Du zwei Eigenvektoren x,y von A mit zugehörigen Eigenwerten [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu.
[/mm]
Wie Du dann inzwischen gezeigt hast, ist ja
0=(Ax)*y - x*(Ay)=... (was ist Ax? Was ist Ay? Einsetzen.)
Gruß v. Angela
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Hi super - vielen dank
den ersten teil hab ich jetzt auch hinbekommen :)
ist ja recht logisch also hat man quasi mit x*y = [mm] x^t [/mm] *y
folgendes zu zeigen: [mm] (Ax)^t*y [/mm] = [mm] x^t [/mm] (Ay) = x(Ay)
wegen der sym und der eigenschaft des skalarprodukts heißt das:
[mm] x^t [/mm] * [mm] A^t [/mm] *y = [mm] x^t [/mm] * A* y = x *(Ay) - das ist jetzt klar :)
Das nachprüfen, hm
Also das überprüfen ist noch nicht ganz so klar:
Das charakteristische Polynom ist ja nicht einfach zu bestimmen? oder?
Da es sich ja nur um eine sym - nicht aber um eine diagonalmatrix handelt?
Kann man überhaupt allgemein ein solches Polynom einer sym Matrix finden?
X = det ( A - [mm] \lambda [/mm] *1) = ...`??
ist das so einfach oder doch nicht allgemein lösbar?
ich hätte ja hm
0 = [mm] (A*\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}) *\vektor{y1 \\ y2 \\ y3} [/mm] - [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] *( [mm] \vektor{y1 \\ y2 \\ y3} [/mm] *A)
Was macht aber die Multiplikation meiner matrix mit einem bzw. 2 eigenvektoren? jeweils - [mm] \lambda [/mm] bzw. - [mm] \mu [/mm] auf der diagonalen ist auch schwierig?
Oder gibt es eine Regel, was entsteht, wenn man [mm] A-\lambda*1 [/mm] mit den Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] multipliziert?
vielen dank aber soweit :)
werde mir mal weiteregedanken darüber machen vllt bekomm ich auch noch einen kleinen tipp
Mit freundlichen Grüßen
Mathe-mata
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> den ersten teil hab ich jetzt auch hinbekommen :)
>
> ist ja recht logisch also hat man quasi mit x*y = [mm]x^t[/mm] *y
>
> folgendes zu zeigen: [mm](Ax)^t*y[/mm] = [mm]x^t[/mm] (Ay) = x(Ay)
> wegen der sym und der eigenschaft des skalarprodukts heißt
> das:
> [mm]x^t[/mm] * [mm]A^t[/mm] *y = [mm]x^t[/mm] * A* y = x *(Ay) - das ist jetzt klar
Hallo,
Du hast das im Prinzip richtig gemacht.
Ich schreib's nochmal auf wegen der vielen Sterne [mm] \* [/mm] .
Man muß nämlich vorsichtig sein.: [mm] \* [/mm] bedeutet hier "Skalarprodukt", und das muß deutlich vom Matrizenprodukt zu unterscheiden sein.
Die normale Multiplikation von Matrizen schreibe ich im folgenden ohne Rechenzeichen. Beachte auch die Klammern, und überlege bei jedem Schritt, warum er erlaubt ist.
(Ax) [mm] \* [/mm] y [mm] =(Ax)^ty=(x^tA^t)y=(x^tA)y=x^t(Ay)=x \* [/mm] (Ay)
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> Also das überprüfen ist noch nicht ganz so klar:
> Das charakteristische Polynom ist ja nicht einfach zu
> bestimmen? oder?
> Da es sich ja nur um eine sym - nicht aber um eine
> diagonalmatrix handelt?
>
> Kann man überhaupt allgemein ein solches Polynom einer sym
> Matrix finden?
>
Mach's Dir nicht so schwer!
Wir brauchen kein Polynom.
Nimm an, Du hast zwei verschiedenen Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] mit zugehörigen Eigenvektoren [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2.
[/mm]
Du hast oben gezeigt [mm] (Ax_1)\* x_2=x_1 \* (Ax_2).
[/mm]
Daraus folgt
[mm] 0=(Ax_1)\* x_2 [/mm] - [mm] x_1 \* (Ax_2)=...
[/mm]
Das mußt Du nun weiter ausrechnen. Bedenke dabei, daß die [mm] x_i [/mm] Eigenvektoren sind, deren Eigenwerte Du kennst [mm] (\lambda_i). [/mm] Du weißt also, was [mm] Ax_i [/mm] ergibt.
Gruß v. Angela
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ohh mann vielen vielen dank Angela - das erste hat ich wirklich sehr unsauber formulirt, da muss man wirklich deutlisch unterscheiden!
bei dem aus rechnen bin ich jetzt auch schon weiter, wie konnt ihr nur soo dooooooff sein :)
also
Ax1 = [mm] \lambda1x1
[/mm]
Ax2 = [mm] \lambda2x2
[/mm]
--> 0 = (Ax1)*x2 - x1*(Ax2) = [mm] (\lambda1x1)*x2 [/mm] - x1*( [mm] \lambda2x2) [/mm] =
nach x*y = [mm] x^t [/mm] y -->
[mm] =(\lambda1 x1)^t [/mm] x2 - [mm] x1^t [/mm] ( [mm] \lambda2 [/mm] x2)
= [mm] x1^t \lambda1 [/mm] x2 - [mm] x1^t \lambda2 [/mm] x2
= [mm] x1^t [/mm] x2 [mm] (\lambda1-\lambda2) [/mm] = x1*x2 [mm] (\lambda1-\lambda2) [/mm]
heißt das jetzt wenn [mm] \lambda1-\lambda2 \not= [/mm] 0 dann müssen die 2 eigenvektoren Senkrecht sein d.h. immer wenn [mm] \lambda1\not= \lambda2 [/mm] dann müssen die zwei eigenvektoren orthogonal sein :D
- war das richtig?
man das war eine schwere geburt :)
- ich glaub so sollte jetzt alles stimmen??
:D wollte nur mal noch alles hinschreiben falls jemand mal vor dem gleichen problem steht vielen dank nochmal an Angela :)
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Hallo,
es ist richtig wie Du es gemacht hast.
Du hättest es noch abkürzen können:
0 = [mm] (Ax_1)*x_2 [/mm] - [mm] x_1*(Ax_2) [/mm] = $ [mm] (\lambda_1x_1)\cdot{}x_2 [/mm] $ - [mm] x_1*( [/mm] $ [mm] \lambda_2x_2) [/mm] $
[mm] =\lambda_1(x_1\* x_2) [/mm] - [mm] \lambda_2(x_1\* x_2)), [/mm] denn das Skalarpdukt ist bilinear
= weiter wie gehabt.
Gruß v. Angela
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