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Hi!
Ich habe eine Ziffernfolge N=z _{n} [mm] z_{n-1} [/mm] ... [mm] z_{1} z_{0} [/mm] einer natürlichen dualzahl.Zur direkten Umwandlung dieser Dualzahl in eine natürlich Zahl zur basis 4 bzw. 8 kann man folgende Formeln verwenden
[mm] 4^{i} [/mm] ( [mm] z_{2i} [/mm] + [mm] 2z_{2i+1} [/mm] ) = [mm] 4^{i}c_{i} [/mm] bzw. [mm] 8^{i} [/mm] ( [mm] z_{3i} [/mm] + [mm] 2z_{3i +1} [/mm] + [mm] 4z_{3i+2} [/mm] ) = [mm] 8^{i}d_{i} [/mm] (also Ziffern zur Basis 4 bzw 8)
Ich soll beide Formeln benutzen um die duale Zahl 0100101110011 ion eine Zahl zur Basis 4 bzw. 8 zu konvertieren.
Mein Problem sind die Formeln.
Ich weiss nich was ich für i und z einsetzen soll.
Ich weiß was rauskommen soll aber das hilft ja nicht weiter weil ich die formeln benutzen soll.
Kann mir einer helfen wie ich mit den Formeln umzugehen habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Rick
> Hi!
> Ich habe eine Ziffernfolge N=z _{n} [mm]z_{n-1}[/mm] ... [mm]z_{1} z_{0}[/mm]
> einer natürlichen dualzahl.Zur direkten Umwandlung dieser
> Dualzahl in eine natürlich Zahl zur basis 4 bzw. 8 kann man
> folgende Formeln verwenden
> [mm]4^{i}[/mm] ( [mm]z_{2i}[/mm] + [mm]2z_{2i+1}[/mm] ) = [mm]4^{i}c_{i}[/mm] bzw. [mm]8^{i}[/mm] (
> [mm]z_{3i}[/mm] + [mm]2z_{3i +1}[/mm] + [mm]4z_{3i+2}[/mm] ) = [mm]8^{i}d_{i}[/mm] (also
> Ziffern zur Basis 4 bzw 8)
> Ich soll beide Formeln benutzen um die duale Zahl
> 0100101110011 ion eine Zahl zur Basis 4 bzw. 8 zu
> konvertieren.
>
> Mein Problem sind die Formeln.
> Ich weiss nich was ich für i und z einsetzen soll.
> Ich weiß was rauskommen soll aber das hilft ja nicht
> weiter weil ich die formeln benutzen soll.
> Kann mir einer helfen wie ich mit den Formeln umzugehen
> habe?
>
Das müssen wir halt einmal ganz langsam analysieren.
Ich beziehe mich dabei immer auf dieses Beispiel: $n=11_$, diese Ziffernfolge
101101110110
Zum einen: du schreibst:
Ich habe eine Ziffernfolge $N=z _{n} [mm] z_{n-1} [/mm] ... [mm] z_{1} z_{0}$ [/mm] einer natürlichen Dualzahl.
Damit sind die Werte der [mm] $z_k$ [/mm] eigentlich vorgegeben: Jedes $z_$ darf entweder $0_$ oder $1_$ sein. Das ist im Dualsystem so!
Was bedeutet denn diese Ziffernfolge? Per Definition bedeutet sie Folgendes:
[mm] $N=\summe_{k=0}^{n}z_{k}*2^{k}$
[/mm]
Oder ausgeschrieben: (ich ändere dabei die Reihenfolge der Summanden gerade auch noch, d.h. ich lasse $k_$ von $n_$ beginnend nach $0_$ laufen:
[mm] $N=z_{n}*2^{n}+z_{n-1}*2^{n-1}+z_{n-2}*2^{n-2}+z_{n-3}*2^{n-3}+...z_{1}*2^{1}+z_{0}*2^{0}$
[/mm]
Für mein oben angegebenes Beispiel:
[mm] $N=1*2^{11}+0*2^{10}+1*2^{9}+1*2^{8}+0*2^{7}+1*2^{6}+1*2^{5}+1*2^{4}+0*2^{3}+1*2^{2}+1*2^{1}+0*2^{0}$
[/mm]
Untersuchen wir doch mal die Angaben fürs Oktal-System. (Das Vierersystem solltest du dann selber nachvollziehen können)
Du hast geschrieben:
[mm] $8^{i}(z_{3i} [/mm] + [mm] 2z_{3i +1} [/mm] + [mm] 4z_{3i+2}) [/mm] = [mm] 8^{i}d_{i}$
[/mm]
Hier ist offensichtlich [mm] $d_{i}$ [/mm] eine Abkürzung einerseits für den Ausdruck in Klammern, andererseits aber auch eine Ziffer im Oktalsystem.
Vielleicht kehren wir besser die Reihenfolge in der Klammer um, damit es besser mit der allgemeinen ausgeschriebenen Formel korrespondiert:
[mm] $8^{i}(4z_{3i+2} [/mm] + [mm] 2z_{3i +1} [/mm] + [mm] z_{3i}) [/mm] = [mm] 8^{i}d_{i}$
[/mm]
Schauen wir nochmals die Binärzahl an (mein Beispiel, die Verallgemeinerung sollte dir keine Schwierigkeiten bereiten  ):
[mm] $N=1*2^{11}+0*2^{10}+1*2^{9}+1*2^{8}+0*2^{7}+1*2^{6}+1*2^{5}+1*2^{4}+0*2^{3}+1*2^{2}+1*2^{1}+0*2^{0}$
[/mm]
Da darf man Klammern setzen (Assoziativgesetz):
[mm] $N=(1*2^{11}+0*2^{10}+1*2^{9})+(1*2^{8}+0*2^{7}+1*2^{6})+(1*2^{5}+1*2^{4}+0*2^{3})+(1*2^{2}+1*2^{1}+0*2^{0})$
[/mm]
Aus den Klammern kann jeweils ausgeklammert werden (Distributivgesetz):
[mm] $N=2^{9}(1*2^{2}+0*2^{1}+1*2^{0})+2^{6}(1*2^{2}+0*2^{1}+1*2^{0})+2^{3}(1*2^{2}+1*2^{1}+0*2^{0})+2^{0}(1*2^{2}+1*2^{1}+0*2^{0})$
[/mm]
Die Zweierpotenzen können als Achterpotenzen angesehen werden, weil der Exponent jeweils eine Dreierzahl ist:
[mm] $N=8^{3}(1*2^{2}+0*2^{1}+1*2^{0})+8^{2}(1*2^{2}+0*2^{1}+1*2^{0})+8^{1}(1*2^{2}+1*2^{1}+0*2^{0})+8^{0}(1*2^{2}+1*2^{1}+0*2^{0})$
[/mm]
Jetzt vergleichst du das mit der oben angegebenen Formel:
Als Exponenten bei der acht habe ich, von links nach rechts: 3,2,1,0.
Die könnte man allgemein mit einem Indes $i_$ versehen:
[mm] $8^{i}$ [/mm] mit $i [mm] \in \{3,2,1,0\}$
[/mm]
Wenn man jetzt versucht, die Indizes der [mm] $z_{?}$ [/mm] innerhalb der zugehörigen Klammern zu berechnen, so sieht man, dass sich der 1. Summand in einer Klammer als $3i+2_$ berechnet, der mittlere Summand zu $3i+1_$ und der 3. Summand zu $3i_$.
Das ist die oben angegeben Formel, so ist das zu interpretieren. Für $i_$ musst du also 0,1,2,3,4,... einsetzen. Bis ca. 1/3 des $n_$.
Der langen Rede kurzer Sinn:
Wenn du eine Dualzahl hast:
101101110110
und die sollt du als Oktalzahl darstellen, dann bildest du von rechts beginnend Dreiergruppen:
101'101'110'110
Je drei Ziffern fasst du als eine Oktalziffer zusammen:
5566
Das ist nämlich [mm] $8^{3}*5+8^{2}*5+8^{1}*6+8^{0}*6$
[/mm]
Oder auch mit deiner obigen Bezeichnung:
[mm] $b_{3}=5; \, b_{2}=5; \, b_{1}=6; \, b_{0}=6$
[/mm]
Ich hoffe, es sei einigermassen klar geworden. Falls nicht, dann frag einfach nach!
Noch besser, du zeigst uns deine Ergebnisse!
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Für das Vierersystem bildest du, auch gemäss der Formel, einfach Zweiergrüppchen, fürs Hexadezimalsystem wohl Vierergruppen. 
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