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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 So 11.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hallo kann mir jemand erklären wie man in dem angehängten bild von der erstena uf die zweite ZEile also zur endgültigen Rheie kommt, die erste Zeiel verstehe ich jedoch nicht wie aus diesem Ergebniss die Foureri Reihe wird
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Die Fourier-Reihe von f(x) besteht aus den Gliedern
[mm] f(x)=a_0 +\summe_{i=1}^{\infty}a_icos(i*x)+\summe_{i=1}^{\infty}b_isin(i*x).
[/mm]
Wenn dir nun klar ist, dass alle [mm] a_i=0 [/mm] sind und die [mm] b_i [/mm] für gerade n den Wert 0 haben, muss man nur alle ungeraden sin-Glieder darstellen. Diese erhält man, indem man auch von i=1 bis [mm] \infty [/mm] summiert, aber die Indices nicht i, sondern 2*i-1 nennt. Setzt man dabei i=1, 2, 3,... ein, so erhält man für 2*i-1 der Reihe nach 1, 3, 5,... also alle ungeraden Zahlen. Entsprechend fallen beim sinus die geraden n heraus und man nimmt sin((2*n-1)*x) (das x muss mit zum sin in die Klammer), also nur alle ungeraden Koeffizienten vor x. Aus [mm] \bruch{4}{\pi*n} [/mm] wird entsprechend [mm] \bruch{4}{\pi*(2n-1)}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 11.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
vielen dank
$ [mm] \bruch{4}{\pi\cdot{}n} [/mm] $
ist doch jetzt der koeffizient oder?
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Hallo!
Nunja, du mußt da etwas vorsichtiger sein.
Generell wurde recht schnell festgestellt, daß die COS-Terme wegfallen, und die Lösung so aussehen muß:
$ [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\cdot{}x). [/mm] $
Dann werden die Koeffizienten bestimmt, und es kommt raus, daß für grade i der Koeffizient stets =0 sein muß, ansonsten ist er $ [mm] \bruch{4}{\pi\cdot{}n} [/mm] $ .
Du kannst nun nicht einfach sagen, daß
[mm] $b_n=\bruch{4}{\pi\cdot{}n} [/mm] $
die Lösung ist, sondern wenn, dann
[mm] b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{4}{\pi\cdot{}n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Wenn nach der ganzen Reihe gefragt ist und nicht nach den Koeffizienten, kann man diese Fallunterscheidung geschickt umgehen, indem man $(2n-1)_$ benutzt, um aus den natürlichen Zahlen ausschließlich ungrade Zahlen zu machen.
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