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| Aufgabe | F freie Gruppe mit 2 Erzeugenden a,b
z.z: die Untergruppe erzeugt von [mm] a^{2},b^{3} [/mm] ist frei |
Hallo Zusammen!
Ich habe ein grundlegendes Problem bei dieser Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.. =)
Ich weiss leider überhaupt nicht, was zu zeigen ist. Wie beweise ich, dass eine Gruppe frei ist? Wir hatten in der Vorlesung die Definition, dass eine freie Gruppe keine Relationen hat, ausser die, die durch die Gruppenaxiome gegeben sind. Nur leider hilft mir das nicht wirklich weiter.
Ich habe (im Internet) auch das Nielsen-Schreier-Theorem gefunden (ohne Beweis), nur denke ich, dass es nicht dem Sinn dieser Aufgabe entspricht einfach zu zitieren, dass jede Unterguppe einer freien Gruppe frei ist.
Ja viel weiter bin ich leider noch nicht gekmmen. Wäre sehr froh um einen oder auch zwei Tipps ;) Vielen lieben Dank, Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 13.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> F freie Gruppe mit 2 Erzeugenden a,b
> z.z: die Untergruppe erzeugt von [mm]a^{2},b^{3}[/mm] ist frei
>
> Hallo Zusammen!
> Ich habe ein grundlegendes Problem bei dieser Aufgabe und
> hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.. =)
> Ich weiss leider überhaupt nicht, was zu zeigen ist. Wie
> beweise ich, dass eine Gruppe frei ist? Wir hatten in der
> Vorlesung die Definition, dass eine freie Gruppe keine
> Relationen hat, ausser die, die durch die Gruppenaxiome
> gegeben sind. Nur leider hilft mir das nicht wirklich
> weiter.
Doch: du musst zeigen, dass [mm] $a^2$ [/mm] und [mm] $b^3$ [/mm] keine Relationen haben. Sprich: nimm dir eine Relation daher und zeige, dass es die triviale Relation gewesen sein muss (benutze dafuer, dass $a$ und $b$ keine Relation haben ausser die triviale).
Hast du z.B. die Relation [mm] $(a^2) (a^2) (b^3) [/mm] = 1$ von [mm] $a^2$ [/mm] und [mm] $b^3$, [/mm] dann hast du ja auch die Relation $a a a a b b b = 1$ von $a$ und $b$, aber das kann nicht sein, weil $a$ und $b$ keine nicht-triviale Relation haben.
> Ich habe (im Internet) auch das Nielsen-Schreier-Theorem
> gefunden (ohne Beweis), nur denke ich, dass es nicht dem
> Sinn dieser Aufgabe entspricht einfach zu zitieren, dass
> jede Unterguppe einer freien Gruppe frei ist.
Das Theorem brauchst du hier sicher nicht.
LG Felix
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Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!
Ich verstehe die Argumentation, habe aber trotzdem noch ein paar kleine Fragen.. Also die triviale Relation: was kann ich mir darunter vorstellen? Mir ist dieser Begriff bis anhin noch nicht begegnet. Hier im Forum habe ich in einem anderen Beitrag etwas gelesen:
eine Relation zwischen 2 Mengen A und B ist stets eine Teilmenge von A [mm] \times [/mm] B .
Ist diese Teilmenge entweder leer oder gleich A [mm] \times [/mm] B, dann nennt man sie auch trivial.
Nur ganz verstehen tue ich das noch nicht.. leer würde heissen a=b=1 (also nur das neutrale Element?)?
> Doch: du musst zeigen, dass [mm]a^2[/mm] und [mm]b^3[/mm] keine Relationen
> haben. Sprich: nimm dir eine Relation daher und zeige, dass
> es die triviale Relation gewesen sein muss (benutze dafuer,
> dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] keine Relation haben ausser die triviale).
Ja wenn ich ein Beispiel einer Relation betrachte reicht das schon? Ist mir schon klar,dass man es mit allen Relationen nach dem gleichen Prinzip wiederholen könnte. Aber muss ich das nicht allgemein machen?
Evt in der Art:
[mm] (a^{2})^{i}*(b^{3})^{j}*....*(a^{2})^{k}=1
[/mm]
und dann wie in deinem Beispiel argumentieren, dass sich diese Relation auch als
[mm] \underbrace{(a^{2})*...*(a^{2})}_{i mal}\underbrace{(b^{3})*...*(b^{3})}_{j mal}...=1
[/mm]
schreiben lässt und dann durch die Annahme folgern, dass a und b keine Relationen haben [mm] \Rightarrow [/mm] Beh.
Ich habe eben noch mehrere Beipiele dazu zu lösen.
Wenn ich eine Menge habe erzeugt von x,y,z mit Relation [mm] y*x*y*z^{-2}=1 [/mm] habe: wie zeige ich da, dass dies eine triviale Relation ist? Kann man da argumentieren, dass x kein Erzeuger ist, weil sich x als Kombination von y und z erzeugen lässt [mm] (x=y^{-1}*z^{2}*y^{-1})? [/mm] Und das ganze dann mit der freien Gruppe mit 2 Erzeugenden identifizieren?
Vielen Dank schon im Vorraus für eure Mühe!
Ersti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!
> Ich verstehe die Argumentation, habe aber trotzdem noch
> ein paar kleine Fragen.. Also die triviale Relation: was
> kann ich mir darunter vorstellen? Mir ist dieser Begriff
> bis anhin noch nicht begegnet. Hier im Forum habe ich in
> einem anderen Beitrag etwas gelesen:
> eine Relation zwischen 2 Mengen A und B ist stets eine
> Teilmenge von A [mm]\times[/mm] B .
> Ist diese Teilmenge entweder leer oder gleich A [mm]\times[/mm] B,
> dann nennt man sie auch trivial.
> Nur ganz verstehen tue ich das noch nicht.. leer würde
> heissen a=b=1 (also nur das neutrale Element?)?
Das ist was ganz anderes.
Mit der trivialen Relation sind die gemeint, die durch die Gruppenaxiome gegeben sind (um die Formulierung aus der Aufgabenstellung aufzugreifen).
> > Doch: du musst zeigen, dass [mm]a^2[/mm] und [mm]b^3[/mm] keine Relationen
> > haben. Sprich: nimm dir eine Relation daher und zeige, dass
> > es die triviale Relation gewesen sein muss (benutze dafuer,
> > dass [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] keine Relation haben ausser die triviale).
>
> Ja wenn ich ein Beispiel einer Relation betrachte reicht
> das schon?
Nein.
> Ist mir schon klar,dass man es mit allen
> Relationen nach dem gleichen Prinzip wiederholen könnte.
> Aber muss ich das nicht allgemein machen?
> Evt in der Art:
> [mm](a^{2})^{i}*(b^{3})^{j}*....*(a^{2})^{k}=1[/mm]
Das ``...'' ist da ziemlich wenig aussagekraeftig. Was genau soll da stehen?
> und dann wie in deinem Beispiel argumentieren, dass sich
> diese Relation auch als
> [mm]\underbrace{(a^{2})*...*(a^{2})}_{i mal}\underbrace{(b^{3})*...*(b^{3})}_{j mal}...=1[/mm]
>
> schreiben lässt und dann durch die Annahme folgern, dass a
> und b keine Relationen haben [mm]\Rightarrow[/mm] Beh.
Na, das haengt stark davon ab was ihr unter Definition versteht und wie formal du das aufschreiben willst/sollst.
Irgenwas werdet ihr doch schonmal in der Vorlesung dazu gemacht haben? Der Begriff Relation muss ja wohl gefallen sein.
> Ich habe eben noch mehrere Beipiele dazu zu lösen.
> Wenn ich eine Menge habe erzeugt von x,y,z mit Relation
> [mm]y*x*y*z^{-2}=1[/mm] habe: wie zeige ich da, dass dies eine
> triviale Relation ist?
Es ist keine. [mm] $y^0 x^0 y^0 z^0 [/mm] = 1$ waere eine. Und [mm] $x^1 y^0 x^{-1} [/mm] z = 1$ auch. (Weil man die beide mit den Gruppenaxiomen zu $1 = 1$ umformen kann.)
> Kann man da argumentieren, dass x
> kein Erzeuger ist, weil sich x als Kombination von y und z
> erzeugen lässt [mm](x=y^{-1}*z^{2}*y^{-1})?[/mm] Und das ganze dann
> mit der freien Gruppe mit 2 Erzeugenden identifizieren?
Ja.
LG Felix
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