frobeniushomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet | Datum: | 20:18 Di 24.11.2009 | Autor: | nueppi |
hallo zusammen,
ich hab ein problem mit dem frobeniushomomorphismus.
es gilt ja:
f(r)= [mm] r^p [/mm] und [mm] f(r+t)=(r+t)^p= r^p+t^p [/mm] und der zwischenteil fällt weg. und da liegt mein problem.bei wikipedia habe ich gelesen:
"Da p eine Primzahl ist, teilt p zwar p! aber nicht q! für q < p. Da die Charakteristik p deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten" und wieso ist das so? hatte überlegt weil der zähler eine 1 und p im produkt hat und es gilt ja für die charakteristik p*1=0 und dass daraus dann folgt, dass der zähler null wird, aber irgendwie gefällt mir die erklärung nicht so.
wäre um jede hilfe dankbar.
liebe grüße
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(Antwort) fertig | Datum: | 23:44 Di 24.11.2009 | Autor: | felixf |
Hallo und
> ich hab ein problem mit dem frobeniushomomorphismus.
> es gilt ja:
> f(r)= [mm]r^p[/mm] und [mm]f(r+t)=(r+t)^p= r^p+t^p[/mm] und der zwischenteil
> fällt weg. und da liegt mein problem.bei wikipedia habe
> ich gelesen:
> "Da p eine Primzahl ist, teilt p zwar p! aber nicht q!
> für q < p. Da die Charakteristik p deshalb den Zähler,
> aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten teilt,
> verschwinden die Binomialkoeffizienten" und wieso ist das
> so?
Was genau an der Aussage ist unklar? Du weisst schon, dass eine Primzahl ein Produkt teilt, wenn es bereits einen der Faktoren teilt?
Damit also $p$ ein Teiler von $q!$ ist, muss $q [mm] \ge [/mm] p$ sein: alle Zahlen $1, 2, [mm] \dots, [/mm] p - 1$ koennen nicht durch $p$ geteilt werden.
Und dann weisst du noch: $q! (p - q)!$ und $p$ sind teilerfremd, und beide teilen $p!$. (Dass $q! (p - q)!$ ein Teiler von $p!$ ist folgt aus [mm] $\binom{p}{q} \in \IN$.) [/mm] Daraus folgt, dass $q! (p - q)! p$ auch $p!$ teilt: und daraus folgt dann, dass $p$ ein Teiler von [mm] $\binom{p}{q} [/mm] = [mm] \frac{p!}{q! (p - q)!}$ [/mm] ist.
> hatte überlegt weil der zähler eine 1 und p im
> produkt hat und es gilt ja für die charakteristik p*1=0
> und dass daraus dann folgt, dass der zähler null wird,
> aber irgendwie gefällt mir die erklärung nicht so.
So geht das auch. Im Zaehler kommt $p = 0$ vor, im Nenner dagegen nur $1, [mm] \dots, [/mm] p - 1$: und das sind alles Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ im Koerper.
LG Felix
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