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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Di 27.12.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Für welche y [mm] \in \IR^4 [/mm] besitzt das Gleichungssystem
[mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
[mm] -8x_3 [/mm] = [mm] -2y_1 [/mm] + [mm] y_2
[/mm]
0= [mm] y_3 [/mm] - [mm] 3y_4
[/mm]
wenigstens eine Lösung x [mm] \in \IR^3 [/mm] |
II [mm] y_1 [/mm] = [mm] 4x_3 [/mm] + 1/2 [mm] y_2
[/mm]
III [mm] y_3 [/mm] = [mm] 3y_4
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich die y [mm] \in \IR^4 [/mm] darstellen soll!!
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Hallo quasimo,
> Für welche y [mm]\in \IR^4[/mm] besitzt das Gleichungssystem
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = [mm]y_1[/mm]
> [mm]-8x_3[/mm] = [mm]-2y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm]
> 0= [mm]y_3[/mm] - [mm]3y_4[/mm]
> wenigstens eine Lösung x [mm]\in \IR^3[/mm]
> II [mm]y_1[/mm] = [mm]4x_3[/mm] + 1/2
> [mm]y_2[/mm]
> III [mm]y_3[/mm] = [mm]3y_4[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie ich die y [mm]\in \IR^4[/mm] darstellen soll!!
Die ersten beiden Gleichungen haben
offenbar für jede beliebige Wahl von [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] eine Lösung.
Durch die 3. Gleichung ist [mm]y_{4}[/mm] frei wählbar.
Demnach ergibt sich:
[mm]y_{1}=s, \ y_{2}=t, \ y_{3}=3*u, \ y_{4}=u, \ s,t,u \in \IR[/mm]
Dies schreibst Du jetzt in vektorieller Form.
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\\ y_{4}}=s*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}+t*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}+u* \pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 27.12.2011 | | Autor: | quasimo |
hallo, danke
Mir ist aber nicht einleuchtend, warum [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] frei wählbar sind, sie hängen doch voneinander ab -> siehe 2te.Gleichung
- [mm] 8x_3 [/mm] = - [mm] 2y_1 +y_2
[/mm]
$ [mm] \pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\\ y_{4}}=s\cdot{}\pmat{1 \\0 \\ 0 \\ 0}+t\cdot{}\pmat{0\\1\\ 0 \\ 0}+u\cdot{} \pmat{0 \\ 0\\ 3 \\ 1} [/mm] $
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> hallo, danke
> Mir ist aber nicht einleuchtend, warum [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] frei
> wählbar sind, sie hängen doch voneinander ab -> siehe
> 2te.Gleichung
> - [mm]8x_3[/mm] = - [mm]2y_1 +y_2[/mm]
Hallo,
es hilft wenn Du Dir die Aufgabenstellung nochmal vor Augen führst:
" Für welche y $ [mm] \in \IR^4 [/mm] $ besitzt das Gleichungssystem
$ [mm] 2x_1 [/mm] $ - $ [mm] 3x_2 [/mm] $ + $ [mm] 2x_3 [/mm] $ = $ [mm] y_1 [/mm] $
$ [mm] -8x_3 [/mm] $ = $ [mm] -2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
0= $ [mm] y_3 [/mm] $ - $ [mm] 3y_4 [/mm] $
wenigstens eine Lösung x $ [mm] \in \IR^3 [/mm] $"
Du hast einen Vektor y gegeben, und die Frage ist nun, wie dieser beschaffen sein muß, damit das GS mindestens eine Lösung x hat.
Die 2.Gleichung liefert keinerlei Einschränkung für [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2.
[/mm]
Man wählt halt [mm] x_3:=-\bruch{1}{8}($ -2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $), und die Sache läuft.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\pmat{y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}\\
y_{4}}=s\cdot{}\pmat{1 \\
0 \\
0 \\
0}+t\cdot{}\pmat{0\\
1\\
0 \\
0}+u\cdot{} \pmat{0 \\
0\\
3 \\
1}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 27.12.2011 | | Autor: | quasimo |
ah okey danke.
> Mann wählt hat $ [mm] x_3:=-\bruch{1}{8}( [/mm] $ $ [mm] -2y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $), und die Sache läuft.
Was du damit meinst versteh ich nicht ganz.
Liebe Grüße
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> ah okey danke.
> > Man wählt halt [mm]x_3:=-\bruch{1}{8}([/mm] [mm]-2y_1[/mm] + [mm]y_2 [/mm]), und
> die Sache läuft.
> Was du damit meinst versteh ich nicht ganz.
Hallo,
ich habe Dir gezeigt, daß für die Lösbarkeit des LGS diese zweite Zeile Deiner ZSF nicht relevant ist.
Egal, welche Werte [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] haben, ein passendes [mm] x_3 [/mm] findet man immer.
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüße
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