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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mo 11.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | wie muss a in [mm] f(x)=\bruch{x+5}{x+a} [/mm] gewählt werden, damit für alle x gilt:
f(f(x))=x? |
komm hier irgendwie nicht weiter. Ich hab zwar die Lösung kann diese jedoch nicht nachvollziehen so wird gelöst
man setzt 0 ein -->
also f(f(0))= [mm] f(\bruch{5}{a})=\bruch{5+5a}{5+a^2}--> [/mm] a =-1
also ich versteh noch dass [mm] \bruch{5}{a} [/mm] rauskomt, wenn man für den ursprungsterm f(0) einsetzt danach hört es aber auch auf, im prinzip versteh ich die aufgabenstellung gar nicht wirklich
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Hi, noobo2,
> wie muss a in [mm]f(x)=\bruch{x+5}{x+a}[/mm] gewählt werden, damit für alle x gilt:
> f(f(x))=x?
> komm hier irgendwie nicht weiter. Ich hab zwar die Lösung
> kann diese jedoch nicht nachvollziehen so wird gelöst
> man setzt 0 ein -->
> also f(f(0))= [mm]f(\bruch{5}{a})=\bruch{5+5a}{5+a^2}-->[/mm] a =-1
> also ich versteh noch dass [mm]\bruch{5}{a}rauskomtm[/mm] wenn man
> für den urpsrungsterm f(0) einsetzt danch hört es aber auch
> auf, im prinzip versteh ich die aufgabenstellung gar nicht
> wirklich
Also:
Wenn obige Gleichung FÜR ALLE x (!!!) gelten soll, dann muss sie auch für x=0 gelten (jedenfalls dann, wenn x=0 in der Definitionsmenge liegt!).
Jetzt klarer?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 11.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
nein ich meinte eigentlich eher wie man vom einen schritt der lösung zum andern kommt..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
Es wurde hier nun [mm] $f(\red{0}) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{a}$ [/mm] in die Funktionsvorschrift eingesetzt und dann umgeformt. Dabei wurde der Bruch zunächst mit $a_$ erweitert:
[mm] $$f[\blue{f(0)}] [/mm] \ = \ [mm] f\left(\blue{\bruch{5}{a}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\bruch{5}{a}}+5}{\blue{\bruch{5}{a}}+a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(\bruch{5}{a}+5\right)*a}{\left(\bruch{5}{a}+a\right)*a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{5}{a}*a+5*a}{\bruch{5}{a}*a+a*a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5+5a}{5+a^2} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$$
[/mm]
Nun die Gleichung mit [mm] $\left(5+a^2\right)$ [/mm] multiplizieren ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 11.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
okay die umformung verstehe ich aber ich versteh gar nicht was denn jetzt f(f(x) bedeutet dass die doch im prinzip [mm] f(\bruch{x+5}{x+a})=x [/mm] oder ??
also wenn ich in diesen term [mm] \bruch{x+5}{x+a} [/mm] irgendetwas als x wert einsetze komtm ja ein y-wert raus und von diesem y-wert soll dann wiederrum ein y wert in f(f(x)) gebildet werden??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
> okay die umformung verstehe ich aber ich versteh gar nicht
> was denn jetzt f(f(x) bedeutet dass die doch im prinzip
> [mm]f(\bruch{x+5}{x+a})=x[/mm] oder ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig. Nur dass hier der Spezialfall $x \ = \ 0$ betrachtet wird und daraus dann wird:
[mm] $$f\left(\bruch{0+5}{0+a}\right) [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mo 11.02.2008 | | Autor: | abakus |
Im Prinzip geht es hier um eine Umkehrfunktion. Ich hoffe, du kannst mit dem Begriff etwas anfangen.
Vielleicht doch ein paar Beispiele:
Ein Paar von Umkehrfunktionen ist z.B. y= 2x und y=0,5 x, denn die Nacheinanderausführung beider Funktionsvorschriften auf x liefert 2*(0,5*x), und das ist wieder der Ausgangswert x.
Ein weiteres Paar ist [mm] y=e^x [/mm] und [mm] y=\ln [/mm] x, denn [mm] e^{\ln x} [/mm] ist wieder x.
Nun sollst du f(x) auf eine andere (zufälligerweise die selbe) Funktion anwenden, damit wieder x rauskommt. Das ist genau das Merkmal für eine Umkehrfunktion. Du musst den Wert a so bestimmen, dass f(x) die Umkehrfunktion zu sich selbst ist.
Dazu bildest du einfach die Umkehrfunktion von f(x) und schaust an, wie die aussieht. (Funktionsgleichung [mm] y=\bruch{x+5}{x+a} [/mm] nach x auflösen und dann x und y vertauschen).
Der dabei entstehende Funktionsterm muss mit dem Ausgangsterm übereinstimmen (bzw. durch Wahl des richtigen a passend gemacht werden.
Kann es sein, dass die Aufgabe nicht lösbar ist bzw. der Funktionstem nicht richtig abgetippt wurde?
Bei meinem Ansatz bekomme ich nämlich keine Lösung.
Was meint die Community?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mo 11.02.2008 | | Autor: | abakus |
Liebe Community,
wer wäre bereit, sich dieser Aufgabe nochmal anzunehmen? Ich glaube, dass mein Ansatz richtig ist, komme aber auf nichts zählbares.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mo 11.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
hi,
also die original aufgabenstellung findest du auf www.z-f-m.de dann downloads und dort die Probeklausur 2006
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo abakus!
Dein Weg klappt doch auch.
Wenn Du die Umkehrfunktion ermittelst mit [mm] $f^{-1}(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5-a*x}{x-1}$ [/mm] und diesen nun gleichsetzt mit der Ausgangsfunktion, folgt daraus ebenfalls: $a \ = \ -1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 11.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
also das mit de rumkehrfunktion hört sich ja logisch an aber es ist hier doh eigentlich der funktionswert vom funktionswert gesucht oder??
also [mm] y=\bruch{x+5}{x+a}, [/mm] wobei für x =0 sich [mm] y=\bruch{5}{a}, [/mm] ergibt, und dies soll dann als x wert für die funktion f(x)=x genommen werden oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 11.02.2008 | | Autor: | abakus |
Ach ja, es ist Mist, wenn man sich in seinem eigenen Ansatz verrechnet.
Die Funktionsgleichung lautete [mm] y=\bruch{x+5}{x+a}.
[/mm]
Umstellen nach x
y(x+a)=x+5
xy+ay=x+5
xy-x=5-ay
x(y-1)=5-ay
[mm] x=\bruch{5-ay}{y-1}
[/mm]
Für die Umkehrfunktion y und x vertauschen:
[mm] y=\bruch{5-ax}{x-1}
[/mm]
a so wählen, dass [mm] \bruch{5-ax}{x-1}=\bruch{x+5}{x+a} [/mm] : a=-1 .
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