funktion berührt... < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | für jedes t>0 ist eine funktion ft gegeben durch [mm] ft(x)=tx-x^3.
[/mm]
ihr graph sei Kt.
a) untersuchen sie Kt auf schnittpunkte mit der x-achse, hoch-, tief- und wendepunkte.
zeichnen sie K1, K2 und K4 in ein gemeinsames achsenkreuz.
b) zeichnen sie nun den graphen von g mit g(x)=0.5 [mm] (3x^2 [/mm] + 7) in das vorhandenen achsenkreuz ein.
c) bestimmen sie diejenige Kurve Kt, die den graphen von g berührt.
geben sie die koordinaten des berührpunktes und die gleichung der gemeinsamen tangente an.
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hallo an alle,
so a und b waren erstma kein problem..
a) nullstellen: x=0 , [mm] x=\wurzel{t} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{t}
[/mm]
extrema: [mm] x=\wurzel{\bruch{t}{3}} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{\bruch{t}{3}}
[/mm]
wendepunkt: x=0
b) ja b is nur zeichnen ;).
c) so die gemeinsame tangente könnte ich angeben, wenn ich den
berührpunkt hätte.. irgendwie komm ich nicht auf die lösung.. hab schon
öfters probiert verstehs aber net ganz..
danke schonmal im voraus..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Sa 27.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Hm, ich würde schauen wo sich die Grafen schneiden/berühern (gleichsetzen), und dann müsstest du schauen, wo der Anstieg der Tangenten an den herausgefundenen Punkten gleich ist.
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nun, wenn sich 2 funktionen berühren , also nur berühren haben sie dann nicht zwangsläufig die selbe steigung??
ich mein das mit dem gleichsetzen hab ich mir auch schon überlegt.. nur haben die beiden funktionen immer n schnittpunkt im negativen bereich..
ich hab leider ka wie das geht mit dem berühren.. hat irgendwer ne idee??
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Hi, satanicskater,
mein Lösungsvorschlag ist zwar ungewöhnlich, führt aber zu einer brauchbaren Lösung:
(1) Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt:
[mm] x^{3} [/mm] + [mm] 1,5x^{2} [/mm] - tx + 3,5 = 0.
(2) Gleichsetzen der Ableitungen ergibt:
[mm] 3x^{2} [/mm] + 3x - t = 0
Bis dahin noch nix Ungewöhnliches!
Aber nun löse ich die Gleichung (2) nach t (!!!) auf:
t = [mm] 3x^{2} [/mm] + 3x
Und das setze ich dann in (1) ein und erhalte nach Umformung:
[mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] - 7 = 0.
Daraus krieg ich schon mal x = 1 und daher t = 6.
(Ob's weitere Lösungen gibt, hab' ich nicht mehr nachgeprüft!)
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:19 So 28.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Die Lösung ist super und alles scheint zu stimmen :) und mehr Lösungen gibt es nicht, wenn man die Veränderung des Grafen betrachtet... ist t>6 gibt es nur noch 3 Schnittpunkte. Die eizige Möglichkeit wär, wenn t<0 ist, aber die Möglichkeit ist vond er Aufgabenstellung ja ausgeschlossen worden.
Gute Arbeit :)
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soo nun bin ich bis hierhin gekommen:
[mm] 0=2x^3+1,5x^2-3,5
[/mm]
natürlich geht das mit substitution, aber was macht man denn wenn man die noch nicht hatte?
gehts denn anders?
ich hoffe doch :P
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 28.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
[mm] 0=2x^3 [/mm] + [mm] 1,5x^2 [/mm] -3,5
wie willst du hier substituieren?
du kannst entweder die cardanischen lösungsformeln für gleichungen 3. Gerades anwenden [ZIEMLICH KOMPLIZIERT!!]
oder du musst eine Nullstelle raten!
z.b. x=1.
dann kannst du dein polynom durch die nullstelle dividieren
POLYNOMDIVISION
[mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 1,5x^2 [/mm] -3,5 :(x-1) [mm] =2x^2+3,5x+3,5
[/mm]
[mm] -(2x^3 [/mm] - [mm] 2x^2)
[/mm]
------------------
[mm] 3,5x^2
[/mm]
[mm] -(3,5x^2-3,5x)
[/mm]
------------------
3,5x -3,5
-(3,5x-3,5)
-----------------
0
=> [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 1,5x^2 [/mm] -3,5 = [mm] (x-1)*(2x^2+3,5x+3,5)
[/mm]
1. Nullstelle x=1
weitere Nullstellen erhalte ich wenn ich den zweiten Faktor
mithilfe der pq-Formel untersuche....
gruss
wolfgang
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