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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 So 29.01.2006 | | Autor: | monja |
| Aufgabe | aufgabe: f(a,b,x):=ax(b-lnx)
a)für welche werte a und b schneidet der graph von f(a,b) die x-achse unter einem winkel von 45°?
b) der graph von f1,0 schließt mit der x-achse eine fläche ein. der graph welcher funktion f1,b halbiert diese fläche.
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lösung: komm an einer stelle nicht weiter. den graph hab ich gezeichnet.schnittstellen an der x-achse sind: [mm] A(0/0),B(e^b/0) [/mm] und [mm] C(e^b/e^{b-1}).aber [/mm] wie soll ich a und b ausrechnen?
die seiten des dreiecks hab ich auch: [mm] a=e^b, [/mm] b & c= [mm] \wurzel{2}/2) *e^b
[/mm]
da komm ich auch nicht weiter.wie soll man das rechnen? den graphen hab ich
gezeichnet.dann müsste es ja (f1,0)/2 sein :D aber das ist ja keine richtige lösung...
lg monja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 29.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Monja!
> schnittstellen an der x-achse sind:
> [mm]A(0/0),B(e^b/0)[/mm] und [mm]C(e^b/e^{b-1})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hast Du vorher auch den Definitionsbereich dieser Funktion bestimmt?
[mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR^+ [/mm] \ = \ [mm] \{ \ x \ > \ 0 \ \}$
[/mm]
Damit entfällt die vermeintliche Lösung $A \ (0 \ | \ 0)$ , da $0_$ nicht Bestandteil des Definitionsbereiches ist.
Und wie kommst Du auf den Punkt $C_$ ?
Es verbleibt als einzige Nullstelle: $B \ [mm] \left( \ e^b \ \left| \ 0 \ \right)$
> wie soll ich a und b ausrechnen?
Was heißt denn Steigungswinkel $\alpha \ = \ 45°$ ?
Die erste Ableitung $f_{a,b}(x)$ nimmt den zugehörigen Tangenswert dieses Winkels $\alpha$ ein:
$\tan(\alpha) \ = \ f_{a,b}(x)$
$\Rightarrow$ $\tan(45°) \ = \ 1 \ = \ f'_{a,b}\left(e^b\right)$
Hieraus lassen sich nun $a_$ und $b_$ ermitteln.
> die seiten des dreiecks hab ich auch: [/mm] [mm]a=e^b,[/mm] b & c= [mm]\wurzel{2}/2) *e^b[/mm]
Welches Dreieck?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Berechne zunächst das (uneigentliche) Integral von $0_$ bis [mm] $e^0 [/mm] \ = \ 1$
[mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{1}{f_{1,0}(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{1}{1*x*[0-\ln(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{1}{-x*\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow 0+}\integral_{A}^{1}{-x*\ln(x) \ dx}$
[/mm]
Anschließend diesen Wert halbieren und nun das zweite Integral berechnen:
[mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A_1}{2} [/mm] \ =\ [mm] \integral_{0}^{e^b}{f_{1,b}(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{e^b}{1*x*[b-\ln(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{e^b}{x*[b-\ln(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow 0+}\integral_{A}^{e^b}{x*[b-\ln(x)] \ dx}$
[/mm]
Hieraus kann nun $b_$ ermittelt werden.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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