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| Aufgabe | Die Funktion
f(x) = 2(n³)x für x [mm] \in [/mm] [0 , [mm] \bruch{1}{2n}]
[/mm]
f(x) = -2(n³)x für x [mm] \in [\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}]
[/mm]
soll auf punktweise Grenzwert untersucht werden. Konvergiert die Funktionenfolge [mm] (fn)n\in\IN [/mm] gleichmässig? |
WIe kann ich das gucken, wenn die Funktion aus zwei Funktionen besteht? WWas ist die Lösung und wie komme ich zu dieser?
Danke
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> Die Funktion
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> [mm] f_n(x) [/mm] = 2(n³)x für x [mm]\in[/mm] [0 , [mm]\bruch{1}{2n}][/mm]
> [mm] f_n(x) [/mm] = -2(n³)x für x [mm]\in [\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}][/mm]
Ich habe hier noch den Index n bei der Funktion angefügt.
Übrigens dürfen bei den Intervallen nicht überall eckige
Klammern stehen, da sich die beiden Definitionen an der
Nahtstelle [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] widersprechen.
> soll auf punktweise Grenzwert untersucht werden.
> Konvergiert die Funktionenfolge [mm](f_n)n\in\IN[/mm] gleichmässig?
> Wie kann ich das gucken, wenn die Funktion aus zwei
> Funktionen besteht? Was ist die Lösung und wie komme ich
> zu dieser?
>
> Danke
Es handelt sich tatsächlich um etwas sonderbare
Funktionen. Hast du dir eine Zeichnung gemacht ?
Zudem schrumpft ja der Definitionsbereich für [mm] n\to\infty
[/mm]
bis am Ende nur noch die Stelle x=0 übrigbleibt.
Als mögliche "Grenzfunktion" f kommt also nur die
Funktion
[mm] f:\{0\}\to\{0\}
[/mm]
mit [mm] f:0\mapsto [/mm] 0
in Frage. Für alle positiven x existiert der Grenzwert
[mm] \limes_{n\to\infty}f(x) [/mm] gar nicht, weil für genügend große Werte von n
x gar nicht mehr im Definitionsbereich von [mm] f_n [/mm] liegt.
LG
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| Aufgabe | Hallo und danke für die schnelle Antwort. Du hast geschrieben:
Es handelt sich tatsächlich um etwas sonderbare
Funktionen. Hast du dir eine Zeichnung gemacht ?
Zudem schrumpft ja der Definitionsbereich für $ [mm] n\to\infty [/mm] $
bis am Ende nur noch die Stelle x=0 übrigbleibt.
Als mögliche "Grenzfunktion" f kommt also nur die
Funktion
$ [mm] f:\{0\}\to\{0\} [/mm] $
mit $ [mm] f:0\mapsto [/mm] $ 0
in Frage. Für alle positiven x existiert der Grenzwert
$ [mm] \limes_{n\to\infty}f(x) [/mm] $ gar nicht, weil für genügend große Werte von n
x gar nicht mehr im Definitionsbereich von $ [mm] f_n [/mm] $ liegt. |
Nun meine Frage zu diener Antwort: Die Zeichnung ist in der Aufgabenstellung shcon vorhanden.
Es ist eine Funktion die aus dem Ursprung kommt. Gerade in eine Spitze verläuft und wieder zuirück zu y=0 geradeförmig verläuft und anschliessend bis x=1 auf y=0 bleibt. Nur ich verstehe immer noch nicht wie das rechnerisch gegen 0 verlaufen kann, denn wenn ich in eine dieser beiden Funktionen egal in welche n gegen unendlich laufen lasse, geht die FUnktion gegen unendlich und nicnht gegen null. WIe kommt man denn nun auf null?
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> Hallo und danke für die schnelle Antwort. Du hast
> geschrieben:
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> Es handelt sich tatsächlich um etwas sonderbare
> Funktionen. Hast du dir eine Zeichnung gemacht ?
> Zudem schrumpft ja der Definitionsbereich für [mm]n\to\infty[/mm]
> bis am Ende nur noch die Stelle x=0 übrigbleibt.
> Als mögliche "Grenzfunktion" f kommt also nur die
> Funktion
>
> [mm]f:\{0\}\to\{0\}[/mm]
>
> mit [mm]f:0\mapsto[/mm] 0
>
> in Frage. Für alle positiven x existiert der Grenzwert
> [mm]\limes_{n\to\infty}f(x)[/mm] gar nicht, weil für genügend
> große Werte von n
> x gar nicht mehr im Definitionsbereich von [mm]f_n[/mm] liegt.
> Die Zeichnung ist in der
> Aufgabenstellung schon vorhanden.
Könntest du die hier posten ?
> Es ist eine Funktion die aus dem Ursprung kommt. Gerade in
> eine Spitze verläuft und wieder zuirück zu y=0 ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> geradeförmig verläuft und anschliessend bis x=1 auf y=0
> bleibt.
Wenn das so sein sollte, hast du die Definition der
Funktionen [mm] f_n [/mm] nicht korrekt angegeben !
> Nur ich verstehe immer noch nicht wie das
> rechnerisch gegen 0 verlaufen kann, denn wenn ich in eine
> dieser beiden Funktionen egal in welche n gegen unendlich
> laufen lasse, geht die Funktion gegen unendlich und nicht
> gegen null. WIe kommt man denn nun auf null?
So wie ich die Aufgabe verstanden habe, ist die Funktion
[mm] f_n [/mm] nur auf dem Intervall von 0 bis [mm] \frac{1}{n} [/mm] definiert,
nicht auf dem von 0 bis 1.
Der Graph von [mm] f_n [/mm] besteht aus zwei Strecken: die erste
vom Nullpunkt O(0/0) zum Punkt [mm] $P\left(\frac{1}{2\,n}\,\,\big{/}\,n^2\right)$ [/mm] und die zweite
von [mm] Q\left(\frac{1}{2\,n}\,\,\big{/}\,-n^2\right) [/mm] zu [mm] R\left(\frac{1}{n}\,\,\big{/}\,-2\,n^2\right)
[/mm]
LG
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