g-adische Entwicklung nat. Z. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Kann man bei geeigneter Basis g die Zahl 5416 des Dezimalsystems als
a) 12450
b) FIA eines g-adischen Systems schreiben?
Wenn ja, geben Sie die Basis an, wenn nein begründen Sie warum es nicht geht |
Hallo Leute,
ich bin mal wieder fleißig am rechnen. Da ich noch sehr unerfahren mit diesem Thema bin, wollte ich gerne von euch wissen, ob ich nach obiger Aufgabenstellung richtig begründet habe.
a)
Für g=1 gibt es ein g-adisches Sytem.
b)
Für FIA gibt es kein g-adisches System, da FIA nicht dezimal ist.
stimmt das so?
Vielen Dank vorab.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo maître le coing,
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was meinst Du?
> Kann man bei geeigneter Basis g die Zahl 5416 des
> Dezimalsystems als
>
> a) 12450
> b) FIA eines g-adischen Systems schreiben?
>
> Wenn ja, geben Sie die Basis an, wenn nein begründen Sie
> warum es nicht geht
> Hallo Leute,
>
> ich bin mal wieder fleißig am rechnen. Da ich noch sehr
> unerfahren mit diesem Thema bin, wollte ich gerne von euch
> wissen, ob ich nach obiger Aufgabenstellung richtig
> begründet habe.
>
> a)
>
> Für g=1 gibt es ein g-adisches Sytem.
Liza Minelli ist die Tochter von Judy Garland.
Das ist richtig und leichter zu zeigen als Deine Aussage.
Was es mit der Aufgabe zu tun hat, dürfte in beiden Fällen fragwürdig sein.
Wenn g bekannt ist und Du also ein g-adisches System hast, wie ist dann [mm] 12450_g [/mm] zu verstehen?
> b)
>
> Für FIA gibt es kein g-adisches System, da FIA nicht
> dezimal ist.
Keine Ahnung. Was ist denn FIA? Herr Gugel wusste auch nicht weiter, und den frage ich oft und gern.
Grüße
reverend
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Hallo Christoph,
Deine Links funktionieren so nicht, aber ich konnte sie aus dem Quelltext auslesen und verfolgen.
Ich weiß sehr wohl, was ein g-adisches Stellenwertsystem ist, aber dennoch bleibt meine Antwort von vorher bestehen. Dein Lösungsversuch von Aufgabe a) ist nicht richtig, und was "FIA" ist, weiß ich jetzt trotz Wikipedia immer noch nicht. Was bedeutet diese Abkürzung?
Zu a)
Die Frage ist diese: gibt es ein g, so dass [mm] 12450_g=5416_{10} [/mm] ist?
Dazu muss gelten: [mm] g^4+2g^3+4g^2+5g=5416_{10}=5*10^3+4*10^2+1*10^1+6
[/mm]
Die angegebenen Ziffern legen nahe, dass g>5 ist, und da wird man schnell fündig - will heißen: die Antwort lautet "ja". Dazu musst Du nur g finden.
Zu b)
Ohne Erläuterung der Abkürzung ist mir eine Antwort nicht möglich, da ich so die Frage nicht verstehe.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
FIA ist eine Zahl aus dem Bereich [mm] $a_i:=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I\}$. [/mm] Die Buchstaben setzen die Ziffern fort, damit in einer anderen Zahldarstellung keine Verwechslungen auftreten.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo reverend,
ich habe mal $ [mm] g^4+2g^3+4g^2+5g=5416$ [/mm] in FunkyPlot eingegeben und dafür g=8 rausbekommen. Wüdest du mir da zustimmen?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo,
> ich habe mal [mm]g^4 2g^3 4g^2 5g=5416[/mm] in FunkyPlot eingegeben
> und dafür g=8 rausbekommen. Wüdest du mir da zustimmen?
Komisch, Excel findet das gleiche. 
Man hätte das sogar per Kopfrechnung finden können.
Überleg mal, wie. Dazu muss man keine Riesenpotenzen rechnen können.
Richtig ist es jedenfalls.
Und mit "FIA" bin ich immer noch nicht zufrieden. Es scheint sich um eine Abkürzung zu handeln. Was wird da abgekürzt?
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
ich habe versucht mir ein Schema zu a) zu konzipieren, aber ich komme nicht drauf.
Bitte berichtige mich, wenn ich da falsch liege, aber hat Galois nicht bewiesen, dass nur biquadritische, quadratische und Polynome des Grades 1 direkt zu lösen sind?
Hier eine Erklärung zu FIA: A=11, F=15, I=17
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 So 28.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Christoph,
vielleicht setzt Du bei mir zuviel voraus. Oder es gibt einen anderen Grund, warum ich Dich nicht verstehe. Den habe ich aber noch nicht gefunden.
> ich habe versucht mir ein Schema
Was genau heißt hier "Schema"?
> zu a) zu konzipieren, aber
> ich komme nicht drauf.
>
> Bitte berichtige mich, wenn ich da falsch liege, aber hat
> Galois nicht bewiesen, dass nur biquadritische,
> quadratische und Polynome des Grades 1 direkt zu lösen
> sind?
Das kommt mir bekannt vor.
Was hat das mit der vorliegenden Aufgabe zu tun?
> Hier eine Erklärung zu FIA: A=11, F=15, I=17
Was erklärt das? Ich will doch nur wissen, wofür die Abkürzung steht. Um A=11, F=15, I=17 deuten zu können, müsste ich doch wenigstens wissen, in welchem Stellenwertsystem wir uns bewegen. Wofür Buchstaben in g-adischen Systemen mit g>10 stehen, ist mir ansonsten durchaus bekannt. Ich rechne seit mehr als drei Jahrzehnten z.B. hexadezimal.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
nur nicht entmutigen lassen  . Ich erkläre es nochmal anders. Also ich verstehe FIA als Zahl, die aus den Resten F, I und A zusammengesetzt ist.
[mm] $5416=g*v_1+F$
[/mm]
[mm] $\frac{5416}{v_1}=g*v_2+I$
[/mm]
[mm] $\frac{5416}{v_1*v_2}=g*v_3+A$
[/mm]
FIA ist die Zahl 151711 und dessen Basis g soll gefunden werden.
Nun zu meiner Bemerkung über Galois. Du sagtest zu mir, als ich die Basis gefunden hatte, dass es zur Lösung nur ein wenig Kopfrechnen bedarf. Wie aber soll das mit [mm] $g^4+2g^3+4g^2+5g-5416=0$ [/mm] dann gehen, wenn die Nullstellen dieses Polynoms nicht direkt zu berechnen sind? Oder anders formuliert, welche Methode außer dem Probieren soll es denn geben, wenn Galois schon bewiesen hat, dass solche Nullstellen jener Polynome wie oben eben nur durch probieren ermittelt werden können?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Mo 29.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nun zu meiner Bemerkung über Galois. Du sagtest zu mir,
> als ich die Basis gefunden hatte, dass es zur Lösung nur
> ein wenig Kopfrechnen bedarf. Wie aber soll das mit
> [mm]g^4+2g^3+4g^2+5g-5416=0[/mm] dann gehen, wenn die Nullstellen
> dieses Polynoms nicht direkt zu berechnen sind?
Doch, sind sie.
Erstens: [mm] $S_4$ [/mm] ist aufloesbar. Damit kann man die Nullstellen als iterierte Wurzelausdruecke angeben. (Sagt u.a. Galois.)
Zweitens: selbst wenn [mm] $S_4$ [/mm] nicht aufloesbar ist (was du offenbar meinst mit "Galois schon bewiesen hat"), gibt es noch genuegend andere Moeglichkeiten. Man kann das Polynom erstmal faktorisieren als Produkt irreduzibler Faktoren (was in polynomieller Zeit geht), und dann sieht man sofort, welche Nullstellen es hat.
> Oder anders
> formuliert, welche Methode außer dem Probieren soll es
> denn geben, wenn Galois schon bewiesen hat, dass solche
> Nullstellen jener Polynome wie oben eben nur durch
> probieren ermittelt werden können?
Das hat Galois nun wirklich nicht bewiesen. Und wie oben schon angedeutet, ist es auch schlichtweg falsch.
LG Felix
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Hallo nochmal,
> nur nicht entmutigen lassen . Ich erkläre es nochmal
> anders. Also ich verstehe FIA als Zahl, die aus den Resten
> F, I und A zusammengesetzt ist.
>
> [mm]5416=g*v_1+F[/mm]
> [mm]\frac{5416}{v_1}=g*v_2+I[/mm]
> [mm]\frac{5416}{v_1*v_2}=g*v_3+A[/mm]
>
> FIA ist die Zahl 151711 und dessen Basis g soll gefunden
> werden.
Wenn A die erste Ziffer nach der 9 ist (so z.B. üblich im Hexadezimalsystem), dann ist A=10, F=15, I=18.
Im g-adischen System mit einer Basis g>18 bedeutet [mm] FIA_g=(15g^2+18g+10)_{10}
[/mm]
Es gibt kein ganzzahliges g, so dass sich damit eine Darstellung von [mm] 5416_{10} [/mm] ergäbe.
Zu Galois hat Felix ja schon etwas geschrieben.
Wenn ich dazu komme, schreibe ich nachher noch etwas dazu, wie man hier schnell zu einer Lösung kommt, ohne mit "großen" Zahlen zu hantieren. Dass es ohne Probieren geht, habe ich übrigens nicht behauptet.
Grüße
reverend
> Nun zu meiner Bemerkung über Galois. Du sagtest zu mir,
> als ich die Basis gefunden hatte, dass es zur Lösung nur
> ein wenig Kopfrechnen bedarf. Wie aber soll das mit
> [mm]g^4+2g^3+4g^2+5g-5416=0[/mm] dann gehen, wenn die Nullstellen
> dieses Polynoms nicht direkt zu berechnen sind? Oder anders
> formuliert, welche Methode außer dem Probieren soll es
> denn geben, wenn Galois schon bewiesen hat, dass solche
> Nullstellen jener Polynome wie oben eben nur durch
> probieren ermittelt werden können?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo reverend,
> Zu Galois hat Felix ja schon etwas geschrieben.
> Wenn ich dazu komme, schreibe ich nachher noch etwas dazu,
> wie man hier schnell zu einer Lösung kommt, ohne mit
> "großen" Zahlen zu hantieren. Dass es ohne Probieren geht,
> habe ich übrigens nicht behauptet.
>
> Grüße
> reverend
Das wäre echt nett von dir. Ich muss meinen Zettel zu Donnerstag abgeben. Schaffst du es bis dahin?
Danke schon mal vorab.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
für den Übungszettel wird Dir das Folgende wahrscheinlich nicht weiterhelfen, aber vielleicht bei weiteren Aufgabe dieser Art, z.B. in Klausuren.
Gefragt war, ob es ein g-adisches System gibt, so dass [mm] 12450_g=5416_{10} [/mm] ist.
Erste Beobachtung: bei der Teilung durch g lässt [mm] 12450_g [/mm] den Rest 0.
Zweite Beobachtung: g muss mindestens 6 sein, sonst könnte es die Ziffer "5" nicht geben.
Dritte Beobachtung: die Zeichenkette 12450 ist länger als die Zeichenkette 5416. Also muss g<10 sein.
All das, sofern überhaupt so ein g existiert.
Zu untersuchen sind also nur [mm] g\in\{6,7,8,9}.
[/mm]
5416 ist nicht durch 3 teilbar. Die 6 und die 9 scheiden also aus.
5416 ist auch nicht durch 7 teilbar. Es bleibt also nur die 8 als Kandidat übrig.
Ab hier bleibt nur Rechnen. Aber auch das geht auf verschiedene Weisen, je nachdem, was man halt besser kann.
1) Division, Rechnung "von hinten". 5416/8=677. Davon die 5 abziehen, also 672. Ist das durch 8 teilbar? Ja: 672/8=84; davon 4 abziehen, also 80. Dann 80/8=10, davon 2 abziehen. 8/8=1, stimmt. Fertig.
2) Multiplikation, Rechnung "von vorn". 1*8+2=10. Wieder mal 8, 10*8+4=84. Dann 84*8+5=677, und nochmal: 677*8=5416. Fertig. (Ist nur kürzer notiert, aber der gleiche Rechenaufwand).
3) Hier könnte man auch noch Vorwissen über Zweierpotenzen einbringen und direkt [mm] 8^4=2^{12}=4096, 8^3=512, 8^2=64 [/mm] einbringen. Dann hat man schonmal die Stellenwerte und ist ja auch schnell fertig.
Grüße
reverend
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Danke an dich reverend und an alle.
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> mit "FIA" bin ich immer noch nicht zufrieden. Es
> scheint sich um eine Abkürzung zu handeln. Was wird da
> abgekürzt?
FIA (Begriffsklärung)
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Abkürzung FIA steht für:
* Fahrgast-Informations-Anzeiger
* Fédération Internationale de l’Automobile
* Feline Infektiöse Anämie
* Fließinjektionsanalyse
* Fachinformatiker für Anwendungsentwicklung
* Fluoreszenzimmunoassay
* Fluorid-Ionen-Affinität
* Fukushima International Association
wählt euch was aus:
Fukushima-Ionen-Automobile oder was ihr auch
immer wollt !
LG , Al
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> Kann man bei geeigneter Basis g die Zahl 5416 des
> Dezimalsystems als
> b) FIA eines g-adischen Systems schreiben?
Hallo Christoph,
wenn man außer der Basis auch noch die Dar-
stellung der Ziffern wählen darf, geht es schon.
Nehmen wir einmal das System mit der Basis
[mm] 27_{dezimal} [/mm] mit den "Ziffern"
O , 1 , Z , B , C , D , E , F , G ,
H , J , I , K , L , M , N , A , P ,
Q , R , S , T , U , V , W , X , Y
in dieser Reihenfolge benützt, dann passt es genau !
Ich habe alle Buchstaben des Alphabets und nur eine
einzige zusätzliche arabische Ziffer, nämlich die
für die Eins , verwendet ! Im System zur Basis $\ [mm] 27_{dezimal}$ [/mm]
brauchen wir ja auch gerade 27 Ziffersymbole,
also eines mehr als uns unser Alphabet offeriert ...
Für die Null habe ich natürlich den Buchstaben O
genommen und für die Zwei den Buchstaben Z
(wegen dem "Z" in "Zwei" und der Ähnlichkeit
zur arabischen Ziffer "2").
Den Vokal A habe ich dann in die Lücke gesetzt,
wo vorher das "O" stand ...
Weil die Basis des obigen Systems der Zahl
$\ [mm] 27_{dezimal}$ [/mm] = [mm] B^B [/mm] entspricht, würde ich dieses neue
System als das " [mm] B^B [/mm] - System " bezeichnen.
Es gilt dann:
$5\ [mm] 416_{\ dezimal}\ [/mm] \ =\ \ [mm] FIA_{\ B^B}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Mo 29.04.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
jetzt endlich habe ich Aufgabe b) überhaupt verstanden.
Die Formulierung ist für mich irreführend - "als FIA eines g-adischen Systems darstellen" ist unüblich.
Ansonsten lautet die Antwort normalerweise "nein", wenn man nicht zu einer Lösung wie Deiner greifen will.
Grüße
reverend
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