ganze/endliche Ringerweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
moin,
ich arbeite gerade an einem Seminarvortrag über ganze Ringerweiterungen und stecke im Moment ein wenig bei einem Beweis fest.
| Aufgabe | Sei $S [mm] \mid [/mm] R$ eine Ringerweiterung, $s [mm] \in [/mm] S$ und $R[s]$ als $R-$Modul endlich erzeugt.
Dann ist $s$ ganz über $R$. |
Der Beweis, den ich gerade zu verstehen versuche, geht folgendermaßen vor:
Sei $R[s]$ von [mm] $g_1, \ldots [/mm] , [mm] g_n$ [/mm] erzeugt, $g := [mm] (g_1, \ldots [/mm] , [mm] g_n)^T \in R[s]^n$.
[/mm]
Da $s [mm] \in [/mm] R[s]$ und [mm] $g_i \in [/mm] R[s] [mm] \forall [/mm] i$ ist auch $sg [mm] \in R[s]^n$. [/mm] Damit ist jeder Eintrag eine $R-$Linearkombination der [mm] $g_i$, [/mm] es gibt also eine Matrix $A [mm] \in R^{n \times n}$ [/mm] mit $sg = Ag$.
Dann folgt:
[mm] $(sI_n-A)g=0 \Rightarrow \red{det(sI_n-A)g = 0 \Rightarrow det(sI_n-A)R[s] = 0} \Rightarrow det(sI_n-A)=0$ [/mm] und da dies ein normiertes Polynom vom Grad $n$ in $s$ ist, ist $s$ damit ganz über $R$.
Probleme habe ich leider mit dem roten Teil:
[mm] $det(sI_n-A)$ [/mm] ist ja eine Zahl, also muss nach dieser Aussage [mm] $det(sI_n-A)*g_i [/mm] = 0 [mm] \, \forall [/mm] i$ gelten.
Wieso kann man das folgern; oder lese ich das hier falsch?
Und dann wird aus dem $g$ plötzlich ein $R[s]$ gemacht.
Das mag vielleicht möglich sein, da $g$ ein Erzeugendensystem ist, aber ganz klar ist mir leider noch nicht wieso das gelten soll.
Wenigstens der letzte Schritt ist wieder klar, da $1 [mm] \in [/mm] R[s]$.^^
Ich hoffe mal das ist nur eine Kleinigkeit, die ich einfach gerade nicht sehe...
lg
Schadow
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Do 02.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow!
> ich arbeite gerade an einem Seminarvortrag über ganze
> Ringerweiterungen und stecke im Moment ein wenig bei einem
> Beweis fest.
> Sei [mm]S \mid R[/mm] eine Ringerweiterung, [mm]s \in S[/mm] und [mm]R[s][/mm] als [/s][/mm]
> [mm][s][mm]R-[/mm]Modul endlich erzeugt.[/s][/mm]
> [mm][s] Dann ist [mm]s[/mm] ganz über [mm]R[/mm].[/s][/mm]
> [mm][s] [/s][/mm]
> [mm][s][/s][/mm]
> [mm][s]Der Beweis, den ich gerade zu verstehen versuche, geht [/s][/mm]
> [mm][s]folgendermaßen vor:[/s][/mm]
> [mm][s] [/s][/mm]
> [mm][s]Sei [mm]R[s][/mm] von [mm]g_1, \ldots , g_n[/mm] erzeugt, [mm]g := (g_1, \ldots , g_n)^T \in R[s]^n[/mm].[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s] [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s]Da [mm]s \in R[s][/mm] und [mm]g_i \in R[s] \forall i[/mm] ist auch [mm]sg \in R[s]^n[/mm]. [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]Damit ist jeder Eintrag eine [mm]R-[/mm]Linearkombination der [mm]g_i[/mm], [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]es gibt also eine Matrix [mm]A \in R^{n \times n}[/mm] mit [mm]sg = Ag[/mm].[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]Dann folgt:[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] [mm](sI_n-A)g=0 \Rightarrow \red{det(sI_n-A)g = 0 \Rightarrow det(sI_n-A)R[s] = 0} \Rightarrow det(sI_n-A)=0[/mm] [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]und da dies ein normiertes Polynom vom Grad [mm]n[/mm] in [mm]s[/mm] ist, ist [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm]s[/mm] damit ganz über [mm]R[/mm].[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]Probleme habe ich leider mit dem roten Teil:[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] [mm]det(sI_n-A)[/mm] ist ja eine Zahl, also muss nach dieser [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
Moment! Es ist nicht einfach eine Zahl (was auch immer du genau mit Zahl meinst ;) ), es ist ein polynomieller Ausdruck in $s$ mit Koeffizienten in $R$: also ein Element aus $R[s]$. Man kann es auch als normiertes Polynom in $R[x]$ auffassen, welches in $s$ ausgewertet wurde.
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]Aussage [mm]det(sI_n-A)*g_i = 0 \, \forall i[/mm] gelten.[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
Genau.
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] Wieso kann man das folgern; oder lese ich das hier [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]falsch?[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] Und dann wird aus dem [mm]g[/mm] plötzlich ein [mm]R[s][/mm] gemacht.[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
Jedes Element aus $R[s]$ ist eine $R$-Linearkombination von [mm] $g_1, \dots, g_n$. [/mm] Ist also $x [mm] \in [/mm] R[s]$ mit $x = [mm] \sum_{i=1}^n a_i g_i$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] R$, dann gilt [mm] $\det(s I_n [/mm] - A) x = [mm] \sum_{i=1}^n a_i \det(s I_n [/mm] - A) [mm] g_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n a_i \cdot [/mm] 0 = 0$.
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] Das mag vielleicht möglich sein, da [mm]g[/mm] ein [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]Erzeugendensystem ist, aber ganz klar ist mir leider noch [/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s]nicht wieso das gelten soll.[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
Ich hoffe das ist jetzt klarer :)
> [mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s][mm][s] Wenigstens der letzte Schritt ist wieder klar, da [mm]1 \in R[s][/mm].^^[/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm][/s][/mm]
Genau!
LG Felix
|
|
|
| |
|
Danke erstmal.
Damit ist der hintere Teil, dass die Determinante damit den gesamten Ring platt macht schon recht klar.
Nur wieso folgt aus
[mm] $(sI_n-A)g=0$ [/mm] dann [mm] $det(sI_n-A)g=0$?
[/mm]
Über einem Integritätsbereich könnte ich das noch glauben, denn durch Übergang auf den Quotientenkörper müsste die Determinante ja dann gleich 0 sein.
Aber was ist, wenn (in diesem Fall $R[s]$) kein Integritätsbereich wäre?
Dann müsste man ja zeigen, dass die Determinante im Annihilator aller [mm] $g_i$ [/mm] liegt.
Wie man daraus dann folgern kann, dass die Determinante Null sein muss, habe ich inzwischen verstanden, da die [mm] $g_i$ [/mm] ein Erzeugendensystem sind.
Aber gilt allgemein:
| Aufgabe | | Sei $R$ ein kommutativer Ring, $B [mm] \in R^{n \times n}$, [/mm] $0 [mm] \neq [/mm] v [mm] \in R^n$ [/mm] mit $Bv = 0$. Dann ist $det(B) [mm] \in [/mm] Ann [mm] $ [/mm] für alle $i$. |
Wiegesagt ist mir diese Aussage klar, solange $R$ ein Integritätsbereich ist.
Aber was ist jetzt, wenn $R$ eben kein Integritätsbereich ist.
Wie zeigt man es dann?
Oder müssen noch ganz bestimmte Bedingungen an das $B$ gestellt werden, die aber im ersten Post gegeben waren?
Ich hatte mir dazu überlegt über "die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte" zu gehen, aber Eigenwerte müssen ja über einem Ring nichtmal eindeutig sein, oder? (Wiederum indem man sich ein paar nette Nullteiler sucht).
Also soweit schonmal danke felix, die Hälfte ist geklärt, aber die andere eben leider noch nicht.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Fr 03.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow!
> Danke erstmal.
> Damit ist der hintere Teil, dass die Determinante damit
> den gesamten Ring platt macht schon recht klar.
> Nur wieso folgt aus
> [mm](sI_n-A)g=0[/mm] dann [mm]det(sI_n-A)g=0[/mm]?
Aso, das war die Frage :)
Das ist auch nicht so schwer: dazu brauchst du die ![[]](/images/popup.gif) Adjunkte. Diese existiert ueber jedem kommutativen Ring mit Eins: ist $A [mm] \in R^{n
times n}$, [/mm] so erfuellt die Adjunkte Matrix [mm] $A^\#$ [/mm] die Gleichung $A [mm] A^\# [/mm] = [mm] A^\# [/mm] A = [mm] (\det [/mm] A) [mm] \cdot I_n$.
[/mm]
Multiplizierst du $(s [mm] I_n [/mm] - A) g = 0$ von Links mit der Adjunkten von $s [mm] I_n [/mm] - A$, so erhaelst du [mm] $(\det [/mm] s [mm] I_n [/mm] - A) g = 0$.
LG Felix
|
|
|
|
