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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 03.09.2005 | | Autor: | Clone |
Hallo,
bei ener Aufgabe komme ich nicht weiter.
Ich soll nämlich prüfen, ob es eine ganzrationale Funktion vierten Grades gibt, mit den folgenden Eigenschaften:
P(-1/7) ist Tiefpunkt, an der Stelle 0,5 liegt ein Wendepunkt und Q(4/32) liegt auf dem Graphen.
So weit bin ich gekommen:
f(x) = [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e
[/mm]
Wie man hier sieht benötigt man fünf Gleichungen um eine Funktion vierten Grades aufzustellen. Mit den Eigenschaften komme ich nur auf vier Gleichungen.
Wie bekomme ich die fünfte Gleichung heraus?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke
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> Hallo,
Hi,
> bei ener Aufgabe komme ich nicht weiter.
> Ich soll nämlich prüfen, ob es eine ganzrationale Funktion
> vierten Grades gibt, mit den folgenden Eigenschaften:
> P(-1/7) ist Tiefpunkt,
Damit weißt du schonmal, dass f(-1) = 7 gilt und f'(-1) = 0
> an der Stelle 0,5 liegt ein
> Wendepunkt
Das bedeutet ja, dass gilt:
f(0) = 5, f''(0) = 0
und Q(4/32) liegt auf dem Graphen.
Das bedeutet ja, dass f(4) = 32 gilt.
> So weit bin ich gekommen:
> f(x) = [mm]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm]
> Wie man hier sieht benötigt man fünf Gleichungen um eine
> Funktion vierten Grades aufzustellen.
Ja, die hast du nun auch, nämlich:
f(-1) = 7
f'(-1) = 0
f(0) = 5
f''(0) = 0
f(4) = 32
> Mit den Eigenschaften
> komme ich nur auf vier Gleichungen.
> Wie bekomme ich die fünfte Gleichung heraus?
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen
> könnte.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen. Kommst du nun alleine auf die Antwort? Wenn nicht, dann melde dich einfach noch mal.
> Danke
Kein Problem
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 So 04.09.2005 | | Autor: | Disap |
> > Hallo,
> Hi,
Tag.
>
> > bei ener Aufgabe komme ich nicht weiter.
...
...
...
> > an der Stelle 0,5 liegt ein
> > Wendepunkt
>
> Das bedeutet ja, dass gilt:
>
> f(0) = 5, f''(0) = 0
>
Das stimmt leider nicht. Eine Stelle ist kein Punkt, sondern heißt, dass bei x=0.5 ein Wendepunkt ist. Daher müsste der Punkt lauten W(0,5| ? ).
Woraus folgt, dass f(0)=5 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Grüße Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:24 So 04.09.2005 | | Autor: | Clone |
Hallo,
Disap hat Recht. 0.5 ist der x-Wert.
Aber das beantwortet leider noch nicht meine eigentliche Frage.
Nämlich: Wie kommt man aus den (in der Frage formulierten) Eigenschaften auf 5 Gleichungssysteme, sodass man eine Funktion vierten Grades aufstellen kann.
Nochmals Danke für die Korrektur Disap.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 04.09.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Hi. Hier noch mal die Aufgabenstellung der ersten Frage.
> bei ener Aufgabe komme ich nicht weiter.
> Ich soll nämlich prüfen, ob es eine ganzrationale Funktion
> vierten Grades gibt, mit den folgenden Eigenschaften:
> P(-1/7) ist Tiefpunkt, an der Stelle 0,5 liegt ein
> Wendepunkt und Q(4/32) liegt auf dem Graphen.
> So weit bin ich gekommen:
> f(x) = [mm]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm]
> Wie man hier sieht benötigt man fünf Gleichungen um eine
> Funktion vierten Grades aufzustellen. Mit den Eigenschaften
> komme ich nur auf vier Gleichungen.
Ja, das ist richtig, dass man fünf Gleichungen braucht, da man 5 Unbekannte hat. Es gilt grundsätzlich um eine Funktion n-ten Grades genau zu beschreiben, braucht man n+1 Gleichungen.
> Wie bekomme ich die fünfte Gleichung heraus?
Genau das ist das Problem! diese fünfte Gleichung haben wir nicht.
ABER
die Aufgabenstellung lautet ja:
> Ich soll nämlich prüfen, ob es eine ganzrationale Funktion
> vierten Grades gibt, mit den folgenden Eigenschaften:
Und so eine ganzrationale Funktion gibt es natürlich! Das dürfte auch eigentlich leicht vorstellbar sein. Bloss gibt es hierbei sicherlich mehrere Funktionen, die diese Kriterien erfüllen.
wie z.B. die Funktion mit der allgemeinen Gleichung:
[mm] f(x):=ax^4+bx^3+cx^2+d
[/mm]
Die Gleichung, die ich hier herausbekomme, lautet (nach Lösen der Gleichungen)
f(x)= [mm] \bruch{12}{115}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{2}{115}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{21}{115}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{816}{115}
[/mm]
Diese Gleichung erfüllt die oben genannten Kriterien. Es sind also mehrere Gleichungen möglich.
Mein Fazit: Die ganzrationale Funktion vierten Grades ist nicht eindeutig zu bestimmen. Aber es gibt Funktionen 4. Grades, die dieses Kriterium erfüllen.
Überarbeitung:
Ansonsten f(x) = [mm]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm] müsste es auch hinhauen, wenn du nun einen dieser Variablen definierst. Ich habe e=1 gesetzt und dann die vier Gleichungen aufgelöst. Nun komme ich auf eine weitere Funktion, die die Kriterien erfüllt:
h(x)= [mm] \bruch{1}{68}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{117}{68}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{177}{68}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{701}{68}x [/mm] + 1
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen
> könnte.
> Danke
Grüße Disap
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Die von euch genannten Bedingungen sind notwendig, aber nicht hinreichend. So ist z.B. nicht gewährleistet, daß bei [mm](-1|7)[/mm] ein Tiefpunkt vorliegt. Warum sollte es nicht auch ein Hochpunkt oder Sattelpunkt sein? Ebensowenig ist sicher, daß [mm]\frac{1}{2}[/mm] eine Wendestelle ist.
Wenn man das von euch aufgestellte 4×5-Gleichungssystem allgemein unter Einführung eines reellen Parameters [mm]t[/mm] löst, erhält man die Funktionen mit der Gleichung
[mm]y = tx^4 + (-19t+2)x^3 + 3(9t-1)x^2 + (115t-12)x + 68t[/mm]
als die einzig möglichen Lösungskandidaten. Untersucht man nun hinreichende Kriterien für Tief- und Wendepunkte, so findet man die Bedingungen
[mm]t > \frac{1}{10} \, , \ t \neq \frac{2}{17}[/mm]
Nur für diese [mm]t[/mm] sind alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt. So ist z.B. [mm]t = \frac{12}{115}[/mm] ein zulässiger Wert (er führt auf deine erstgenannte Lösung), dagegen ist [mm]t = \frac{1}{68}[/mm] (er führt auf die letztgenannte "Lösung") nicht zulässig, denn hier gibt es bei [mm]x=-1[/mm] keinen Tief-, sondern einen Hochpunkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Die von euch genannten Bedingungen sind notwendig, aber
> nicht hinreichend. So ist z.B. nicht gewährleistet, daß bei
> [mm](-1|7)[/mm] ein Tiefpunkt vorliegt. Warum sollte es nicht auch
> ein Hochpunkt oder Sattelpunkt sein? Ebensowenig ist
> sicher, daß [mm]\frac{1}{2}[/mm] eine Wendestelle ist.
>
> Wenn man das von euch aufgestellte 4×5-Gleichungssystem
> allgemein unter Einführung eines reellen Parameters [mm]t[/mm] löst,
> erhält man die Funktionen mit der Gleichung
>
> [mm]y = tx^4 + (-19t+2)x^3 + 3(9t-1)x^2 + (115t-12)x + 68t[/mm]
>
Hier kann ich leider nicht folgen - überhaupt keine Ahnung, was da passiert sein könnte, also die bekannten Gleichungen lauten:
(f(x) = [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)
[/mm]
[mm] (f'(x)=4ax^3 [/mm] + [mm] 3bx^2 [/mm] + 2cx + d)
(f''(x) = [mm] 12ax^2 [/mm] + 6bx + 2c)
1) f(-1)=7 [mm] \gdw7 [/mm] = [mm] -a^{4}-b^{3}-c^{2}-d+e
[/mm]
2) f'(-1)=0 [mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] -4a^{3} [/mm] - [mm] 3bx^{2} [/mm] - 2c + d
3) f''(0.5) = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] 12a0.5^{2} [/mm] + 6b0.5 + 2c
4) f(4) = 32 [mm] \gdw [/mm] 32 = [mm] a4^{4}+b4^{3}+c4^{2}+d4+e
[/mm]
Und wo genau wird hier ein Parameter t ins Spiel gebracht?
Egal, ob ich einfach noch vor jedes x ein t hinsetze, ich komme nicht auf
y = [mm] tx^4 [/mm] + [mm] (-19t+2)x^3 [/mm] + [mm] 3(9t-1)x^2 [/mm] + (115t-12)x + 68t
Nicht, weil es falsch ist, sondern weil ich es nicht verstehe.
a)Wie kommt man nun also von den vier Gleichungen auf so etwas?
b) Und diese Gleichung kann man nun einmal bzw. zwei mal ableiten und es kommt heraus, für welche t es einen Tiefpunkt/Hochpunkt und für welches t Wendepunkte gibt?
Grüße Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Disap!
Ich nehme doch mal an es wurde einfach $t=a$ gesetzt.
> 1) f(-1)=7 [mm]\gdw7[/mm] = [mm]-a^{4}-b^{3}-c^{2}-d+e[/mm]
> 2) f'(-1)=0 [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]-4a^{3}[/mm] - [mm]3bx^{2}[/mm] - 2c + d
> 3) f''(0.5) = 0 [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]12a0.5^{2}[/mm] + 6b0.5 + 2c
> 4) f(4) = 32 [mm]\gdw[/mm] 32 = [mm]a4^{4}+b4^{3}+c4^{2}+d4+e[/mm]
Hier stimmt einiges nicht!
Zum Beispiel muss die erste Gleichung $7=a-b+c-d+e$ lauten.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo Disap!
Hi.
> Ich nehme doch mal an es wurde einfach [mm]t=a[/mm] gesetzt.
>
> > 1) f(-1)=7 [mm]\gdw7[/mm] = [mm]-a^{4}-b^{3}-c^{2}-d+e[/mm]
> > 2) f'(-1)=0 [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]-4a^{3}[/mm] - [mm]3bx^{2}[/mm] - 2c + d
> > 3) f''(0.5) = 0 [mm]\gdw[/mm] 0 = [mm]12a0.5^{2}[/mm] + 6b0.5 + 2c
> > 4) f(4) = 32 [mm]\gdw[/mm] 32 = [mm]a4^{4}+b4^{3}+c4^{2}+d4+e[/mm]
>
> Hier stimmt einiges nicht!
>
> Zum Beispiel muss die erste Gleichung [mm]7=a-b+c-d+e[/mm] lauten.
Ach Herrje. Das war wirklich gewaltiger Pfusch.
Die Antwort hat mir sicherlich geholfen. Vielen Dank.
> Liebe Grüße
> Stefan
>
Schöne Grüße Disap
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Hallo Clone,
> Ich soll nämlich prüfen, ob es eine ganzrationale Funktion
> vierten Grades gibt, mit den folgenden Eigenschaften:
> P(-1/7) ist Tiefpunkt, an der Stelle 0,5 liegt ein
> Wendepunkt und Q(4/32) liegt auf dem Graphen.
> So weit bin ich gekommen:
> f(x) = [mm]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm]
> Wie man hier sieht benötigt man fünf Gleichungen um eine
> Funktion vierten Grades aufzustellen. Mit den Eigenschaften
> komme ich nur auf vier Gleichungen.
> Wie bekomme ich die fünfte Gleichung heraus?
gar nicht.
Hat ein Gleichungssystem weniger Gleichungen als Unbekannte, so gibt es in der Regel eine parameterabhängige Lösung, wie es hier der Fall ist,
Gruß
MathePower
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