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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Di 28.10.2008 | | Autor: | lum_pi |
hallo,
ich habe eine frage zu der folgenden aufgabe:
man soll den fluss von v (mit v(x)=f(r)*x (wobei x ein vektor ist und [mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}, [/mm] v(x) ist also ein vektorfeld ), durch eine kugeloberfläche um den ursprung mit radius R berechnen.
aber wenn man nun nach dem satz von gauss vorgeht kommt man bei der rechten seite (also int( dV divv)) auf ein riesiges integral, auch wenn man eine parametrisierung mit kugelkooerdinaten macht. ist das der richtige weg, oder muss man noch irgendwas anderes beachten? wie würdet ihr bei der aufabe vorgehen.
danke für eine antwort.
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> hallo,
> ich habe eine frage zu der folgenden aufgabe:
> man soll den fluss von v (mit v(x)=f(r)*x (wobei x ein
> vektor ist und [mm]r=\wurzel{x^2+y^2+z^2},[/mm] v(x) ist also ein
> vektorfeld ), durch eine kugeloberfläche um den ursprung
> mit radius R berechnen.
> aber wenn man nun nach dem satz von gauss vorgeht kommt
> man bei der rechten seite (also int( dV divv)) auf ein
> riesiges integral, auch wenn man eine parametrisierung mit
> kugelkooerdinaten macht. ist das der richtige weg, oder
> muss man noch irgendwas anderes beachten? wie würdet ihr
> bei der aufabe vorgehen.
> danke für eine antwort.
Ich denke, hier kommst du ganz gut ohne den Satz von Gauß
aus. Das Vektorfeld ist ja wunderbar kugelsymmetrisch, an
jeder Stelle der Kugeloberfläche ist [mm] \vec{v}(\vec{x}) [/mm] zur
Kugeloberfläche senkrecht und hat den gleichen Betrag [mm] $f(R)\red{*R}$.
[/mm]
Durch diese Überlegungen reduziert sich das Problem auf
eine Kopfrechnung.
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Di 28.10.2008 | | Autor: | Dinker |
Ist das dein ernst?
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Absolut.
Das Ergebnis ist (wirklich im Kopf berechnet): [mm] 4\pi R^{\red{3}}*f(R)
[/mm]
EDIT:
(da war zuerst doch noch ein Fehler - der Exponent von R muss 3 sein, nicht 2)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 28.10.2008 | | Autor: | lum_pi |
danke für die antwort Al-Chwarizmi,
aber die aufgabe soll mit dem satz von gauss gelöst werden, wenn das vektorfeld mit v(x)=f(r)*vektor x (siehe oben) gegen ist, erhält man nach dems satz von gauss auf der rechten seite für das flächenintegral:
[mm] \integral_{A}^{}{f(R) dA} [/mm] = [mm] 4\pi R^2\cdot{}f(R) [/mm] , wie du ees schon geasgt hast, aber auf der linken seite steht dann [mm] \integral_{V}^{}{div v dV} [/mm] = (f'(R) + [mm] 2*\bruch{f(R)}{R}) [/mm] * [mm] \bruch{4}{3}\pi R^3 [/mm] , leider kann das nicht stimmen.
wo ist denn nun der fehler?
danke für eure antworten!
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> danke für die antwort Al-Chwarizmi,
> aber die aufgabe soll mit dem satz von gauss gelöst
> werden,
Ehrlich gesagt finde ich das ein wenig doof
(Prinzip "warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?").
Ich dachte es ginge in der Aufgabe darum, ob man den
Begriff "Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche"
wirklich verstanden habe - dazu ist sie geradezu ideal.
Ich schau mir die Sache nochmal an.
LG
Nun ja, also über den Satz von Gauß führt die Aufgabe
wenigstens zu ein paar interessanten Überlegungen zum
Ableiten und Integrieren.
[mm] \vec{x}=\vektor{x\\y\\z}\qquad r=r(\vec{x})=\left| \vec{x}\right|=\wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
[mm] \vec{v}(\vec{x})=f(r(\vec{x}))*\vec{x}=\vektor{x*f(\wurzel{x^2+y^2+z^2})\\y*f(\wurzel{x^2+y^2+z^2})\\z*f(\wurzel{x^2+y^2+z^2})}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x}}\vec{v}_x=1*f(\wurzel{x^2+y^2+z^2})+x*f'(\wurzel{x^2+y^2+z^2})*\bruch{2x}{2\wurzel{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
(Produktregel, Kettenregel !)
[mm] =f(\wurzel{x^2+y^2+z^2})+\bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}*f'(\wurzel{x^2+y^2+z^2})
[/mm]
Uff, nun das gleiche auch für die anderen benötigten
partiellen Ableitungen, und dann zur Divergenz. Die
kann man dann mittels r recht einfach schreiben:
div [mm] \vec{v}(\vec{x})=3*f(r)+r*f'(r)
[/mm]
Integriert über die Vollkugel:
[mm] $\underbrace{\integral\, \integral\, \integral}_{Kugel} [/mm] div\ [mm] \vec{v}(\vec{x})\ [/mm] dx\ dy\ [mm] dz=\integral_{r=0}^{R}(3*f(r)+r*f'(r))*4\pi r^2*dr$
[/mm]
Das kann man in zwei Summanden aufteilen, beim zweiten
partiell integrieren, und wenn man das auch noch geschafft
hat, löst sich endlich alles in Minne auf, und man kommt
tatsächlich zum Ergebnis, das eigentlich von Anfang an
offensichtlich war.
Gruß ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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