gebrochen rationale Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 So 23.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
ich hab folgende Frage zur Integrierbarkeit:
[mm] \bruch{5}{3*(x+2)*(3-x)} [/mm] oder auch [mm] \bruch{1}{k^2-x^2}
[/mm]
Diese Aufgabe ist natürlich lösbar mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Ich behaupte aber, das die Aufgabe auch noch anders Integrierbar ist, nur mit Hilfe das ln, da nur im Nenner eine Variable steht. Stimmt das und kann mir jemand wenn es möglich ist den Weg zeigen.
Im voraus Danke
mfg Krisu112
Frage steht in keinem anderen Forum
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Hallo!
Für soetwas lohnt es sich manchmal in Integrationstafeln zu schauen...
Da findet man beispielsweise:
[mm] $\integral{\frac{x}{a^2+b^2x^2}\mathrm{d}x}=\frac{1}{2b^2}\mathrm{ln}\left| a^2+b^2x^2\right|$
[/mm]
Nun wird dich das sicher nicht unbedingt befriedigen, da ich den Weg dahin auch nicht genau kenne.
Allerdings kann man auch bei Integralen substituieren, doch kann ich dir das leider nicht erklären.
Viel Spaß noch beim Knobeln,
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 23.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
die Idee ist nicht schlecht, nur leider darf ich solche Tafeln beim ABI nicht nutzen!:) kennt jemand einen Weg ohne ein Integrationsverfahren zu nutzen , oder geht das gar nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 So 23.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo krisu!
Meines Erachtens sind die beiden o.g. Beispiele nur mit vorheriger Partialbruchzerlegung integrierbar (lasse mich aber auch gerne eines Besseren belehren).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 So 23.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roland!
Da hast Du aber plötzlich bei der Funktion ein $x_$ in den Zähler "gezaubert", das vorher noch nicht da war  .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 So 23.04.2006 | | Autor: | pi-roland |
Entschuldigung, da bin ich wohl in der Zeile verrutscht...
Also nochmal richtig:
[mm] $\integral{\frac{\mathrm{d}x}{a^2+b^2x^2}}=\frac{1}{ab}\mathrm{arctan}\frac{b}{a}x$
[/mm]
Die Annahme, dass etwas mit ln heraus kommt, ließ mich unachtsam sein...
Schönen Tag noch,
Roland.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal!
Hab nochmal nachgeschaut, wie man bei der Integration substituiert.
Bei $\integral{\frac{\mathrm{d}x}{k^2+x^2}}$ geht man folgendermaßen vor:
$\integral{\frac{\mathrm{d}x}{k^2+x^2}}$=$\frac{1}{k^2}\integral{\frac{\mathrm{d}x}{1+(\frac{1}{k}x)^2}}$
mit $t=\frac{x}{k}$ und $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{k}$ erhält man:
$\frac{1}{k^2} \integral{\frac{1}{1+t^2}*k \mathrm{d}t=\frac{1}{k}\mathrm{arctan}t$
Das ist ein Grundintegral, welches man dann einfach wissen muss, oder eben doch nachschlägt...
Zurücksubstituiert erhält man:
$=\frac{1}{k}\mathrm{arctan}\left(\frac{x}{k}\right)$
Ob und wie man das sinnvoll bei deiner anderen Funktion einsetzen kann, weiß ich jetzt auch nicht auf Anhieb.
Schönen Tag noch,
Roland.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 23.04.2006 | | Autor: | Walde |
hi krisu,
ich schliesse mich loddar an: die Intergrale sind nur mittels vorheriger Partialbruchzerlegung lösbar. Dann taucht ja auch der ln auf, so wie du es behauptest. Aber wenn man die Stammfkt. nicht sofort "sieht", was für Normalsterbliche nicht drin ist und dir im Abi auch nichts bringt, weil die ja den Lösungsweg sehen wollen, muss man den "regulären" Lösungsweg über PBZ und dann summandenweises Intergrieren gehen.
Die Sache ist übrigens was anderes, wenn du ein Integrand der Form
[mm] \bruch{a*x}{k^2-x^2}
[/mm]
hast, denn da kannst du dir die PBZ durch die Substitution [mm] u=k^2-x^2 [/mm] sparen.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 So 23.04.2006 | | Autor: | krisu112 |
Vielen Dank, jetzt weiß ich bescheid, mach jetzt einfach bei gebrochen rationalen Funktionen immer Partialbruchzerlegung, damit kann ich die lösen. Euch noch einen schönen Tag,
mfg Krisu112
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