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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Logan |
Hi,
ich brauche eure Hilfe.
Ich habe folgende Funktion [mm] f(x) = \bruch {x^2-4}{1-x^2}[/mm]
1) Symmetrie: achsensymmetrisch zur y Achse
2) [mm] D= \IR {1;-1} [/mm]
3) 1. Pol = 1 --> Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach +
2. Pol = -1 --> Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -
4) Verhalten für ... /Asymptote:
Näherungsfunktion y = - 1 von der Funktion f(x) ...
5) Nullstellen: [mm] x_{1}= 2 v x_{2}= -2 [/mm]
6) Extremstellen: Hochpunkt P(0|-4)
7) Wendstellen: keine Vorhanden
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß, wie ich den Graphen zeichnen soll. Definitionslücken, Näherungsfunktion, Hochpunkt stellen kein Problem dar, jedoch habe ich Schwierigkeiten den Graphen mit den Nullstellen zu verbinden. Des Weiteren verstehe ich nicht, wie diese Graphen/Linien  an den Seiten gezeichnet werden und wonach man sich dabei orientieren muss.
Weitere Fragen:
1) Ist Näherungsfunktion und Asymptote das gleiche?
2) Was gilt, wenn bei der Untersuchung von Extremstellen einer Funktion (ganz rational und/oder gebrochenrational) die notwendige und die hinreichende Bedingung gleich Null sind?
3)Was sind hebbare Definitionslücken und wie kann ich sie erkenne?
(Sind hebbare Definitionslücken, wenn die Nullstellen des Nenners und
Nullstellen des Zählers gleich sind?)
4)Wie zeichne ich hebbare Definitionslücken?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Logan!
> Ich habe folgende Funktion [mm]f(x) = \bruch {x^2-4}{1-x^2}[/mm]
> 1) Symmetrie: achsensymmetrisch zur y Achse
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> 2) [mm]D= \IR {1;-1}[/mm]
[mm]D= \IR \backslash \{1;-1\}[/mm]
> 3) 1. Pol = 1 --> Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach +
> 2. Pol = -1 --> Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -
> 4) Verhalten für ... /Asymptote:
> Näherungsfunktion y = - 1 von der Funktion f(x) ...
> 5) Nullstellen: [mm]x_{1}= 2[/mm] v [mm]x_{2}= -2[/mm]
> 6) Extremstellen: Hochpunkt P(0|-4)
> 7) Wendestellen: keine Vorhanden
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß, wie ich
> den Graphen zeichnen soll. Definitionslücken,
> Näherungsfunktion, Hochpunkt stellen kein Problem dar,
> jedoch habe ich Schwierigkeiten den Graphen mit den
> Nullstellen zu verbinden. Des Weiteren verstehe ich nicht,
> wie diese Graphen/Linien an den Seiten gezeichnet
> werden und wonach man sich dabei orientieren muss.
Strichele Dir doch nach Eintragung der einzelnen Sonderpunkte (Nullstellen, Extrempunkte etc.) auch die Polstellen sowie die Asymptote (= Näherungsfunktion) ein.
Nehmen wir das Beispiel bei [mm] $x_P [/mm] \ = \ +1$ :
Hier kommt der Graph doch fast senkrecht von $+ [mm] \infty$ [/mm] durch die Nullstelle [mm] $N_2 [/mm] (2; 0)$ hindurch in einen fast waagerechten Verlauf bei $y \ = \ -1$
Es sollte dann insgesamt so aussehen :
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Weitere Fragen:
>
> 1) Ist Näherungsfunktion und Asymptote das gleiche?
> 2) Was gilt, wenn bei der Untersuchung von Extremstellen
> einer Funktion (ganz rational und/oder gebrochenrational)
> die notwendige und die hinreichende Bedingung gleich Null
> sind?
Streng genommen ist [mm] $f''(x_E) [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ dann keine hinreichende Bedingung mehr.
Man spricht nur von hinreichender Bedingung bei [mm] $f'(x_E) [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $f''(x_E) [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ 0$
Wenn dieses Kriterium (diese Bedingung) nicht erfüllt ist, mußt Du die über einen Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung die Extremstelle und Art der Extremstelle nachweisen.
> 3) Was sind hebbare Definitionslücken und wie kann ich sie
> erkennen?
> (Sind hebbare Definitionslücken, wenn die Nullstellen
> des Nenners und Nullstellen des Zählers gleich sind?)
Ganz genau ...
> 4) Wie zeichne ich hebbare Definitionslücken?
Zeiche den Graphen wie gehabt. An der Stelle der behebbaren Definitionslücke zeichnest Du dann einen offenen (= nicht ausgefüllten) "Kringel".
Ich hoffe, ich konnte etwas weiterhelfen ...
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Logan |
Danke schon mal für die Antwort.
Hat mir sehr gut weitergeholfen.
Habe jedoch noch zwei Fragen.
1)
> Nehmen wir das Beispiel bei [mm]x_P \ = \ +1[/mm] :
>
> Hier kommt der Graph doch fast senkrecht von [mm]+ \infty[/mm] durch
> die Nullstelle [mm]N_2 (2; 0)[/mm] hindurch in einen fast
> waagerechten Verlauf bei [mm]y \ = \ -1[/mm]
>
>
> Es sollte dann insgesamt so aussehen :
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe noch nicht ganz, wieso der Graph links von x=-1 und x=1 so verläuft, wie er es in deiner Zeichnung tut.
Das ganze hat doch irgendetwas mit dem Vorzeichenwechesel der beiden Pole zu tun, oder
2)
> Wenn dieses Kriterium (diese Bedingung) nicht erfüllt ist,
> mußt Du die über einen Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung
> die Extremstelle und Art der Extremstelle nachweisen.
Wie funktioniert die Methode mit dem Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Logan,
erst einmal: Ein cooler Name! 
> Ich verstehe noch nicht ganz, wieso der Graph links von
> x=-1 und x=1 so verläuft, wie er es in deiner Zeichnung
> tut.
> Das ganze hat doch irgendetwas mit dem Vorzeichenwechesel
> der beiden Pole zu tun, oder
Also, das sind eigentlich direkt schon mal zwei Fragen, wegen
[mm] $f(x)=\frac{x^2-4}{1-x^2}=\frac{1-\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x^2}-1}$ [/mm] gilt [mm] $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{1-0}{0-1}=-1$, [/mm] daher die beiden waagerechten Asymptoten für [mm] $x\to\pm\infty$.
[/mm]
Untersuchen wir einmal die Polstelle [mm] $x_p=-1$. [/mm] Es gilt:
[mm] $f(x)=\frac{x^2-4}{(1-x)(1+x)}=\frac{x^2-4}{1-x}\cdot \frac{1}{1+x}$, [/mm] wobei der erste Faktor in der Umgebung um $x=-1$ stetig ist und den Wert [mm] $-\frac{3}{2}$ [/mm] annimmt. Der Ausdruck [mm] $\frac{1}{1+x}$ [/mm] ist für alle $x>-1$ positiv und für alle $x<-1$ negativ. Das ist der Vorzeichenwechsel dieser Polstelle. Wegen [mm] $\lim_{x \to -1}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{0}$ [/mm] wird der Term beliebig groß, hat aber unterschiedliche Vorzeichen, je nachdem von welcher Seite man sich nähert. Daher ist der rechtseitige Grenzwert an der Stelle $x=-1$ dann [mm] $\lim_{x \downarrow -1}f(x)=-\infty$ [/mm] und der linksseitige Grenzwert [mm] $\lim_{x\uparrow -1}f(x)=+\infty$. [/mm] Analoges gilt für die Polstelle bei $x=1$.
> Wie funktioniert die Methode mit dem Vorzeichenwechsel der
> 1. Ableitung?
Es gibt Funktionen wie zB die Funktion [mm] $f(x)=x^4$, [/mm] bei denen die hinreichende Bedingung für Extremstellen [mm] $f'(x_E)=0 \wedge f''(x_E)\neq [/mm] 0$ nicht erfüllt ist - d.h. aber noch lange nicht, dass dort keine Extremstelle vorliegt (wie man für [mm] $x^4$ [/mm] wohl mit Sicherheit weiß). Der Unterschied zwischen einem Terassenpunkt (wie zB der Ursprung für [mm] $x^3$) [/mm] und einem Extrempunkt (zB der Ursprung für [mm] $x^4$) [/mm] ist der, dass bei einem Terassenpunkt das Vorzeichen der ersten Ableitung vor und nach dem Terassenpunkt gleich sind. Bei einer Extremstellen wechselt das Vorzeichen der ersten Ableitung. Dieser Vorzeichenwechsel kann die Frage ob ein Extremum vorliegt entscheiden! Alternativ kann man auch sagen, an den kritischen Stellen muss die Ableitungsfunktion eine einfache (dreifache, fünffache,...) Nullstelle haben für eine Extremstelle und eine doppelte (vierfache, sechsfache,...) Nullstelle für Terassenpunkte.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Logan |
Danke schön.
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