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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Fr 15.09.2006 | | Autor: | scrax |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich muß eine Kurvendisskusion für folgende Funktion durchführen:
f(x)= [mm] k\* x^2/x^2-2k [/mm] wobei: [mm] k=\IR+
[/mm]
1.Definitionsbereich: [mm] \IR\setminus\{o;2k\} [/mm] (ist das richtig??)
dann bei 0 eine Lücke und bei 2k ein Pol
2. dann wollte ich die Ableitungen machen und damit habe ich enorme Schwierigkeiten
ich hab für :
u= [mm] kx^2
[/mm]
u'= 2k
[mm] v=x^2-2k
[/mm]
v'=2x
ausgerechnet.
Dabei bekomme ich als 1.Ableitung:
f'(x)= [mm] -2x^3k+2x^2k-4k^2/(x^2-2k)^2
[/mm]
Ist das bis jetzt richtig??
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Hallo!
> f(x)= [mm]k\* x^2/x^2-2k[/mm] wobei: [mm]k=\IR+[/mm]
>
> 1.Definitionsbereich: [mm]\IR\setminus\{o;2k\}[/mm] (ist das
> richtig??)
Nein, das ist nicht richtig. Wenn du die 0 einsetzt, ist die Funktion definiert, es gilt f(0)=0, und auch 2k darfst du durchaus einsetzen. Was nicht definiert ist, ist die Zahl, so dass der Nenner =0 wird. Also [mm] x^2-2k=0 \gdw x^2=2k \gdw x=\wurzel{2k}. [/mm] Ist dir das klar?
> 2. dann wollte ich die Ableitungen machen und damit habe
> ich enorme Schwierigkeiten
>
> ich hab für :
> u= [mm]kx^2[/mm]
> u'= 2k
> [mm]v=x^2-2k[/mm]
> v'=2x
>
> ausgerechnet.
>
> Dabei bekomme ich als 1.Ableitung:
>
> f'(x)= [mm]-2x^3k+2x^2k-4k^2/(x^2-2k)^2[/mm]
>
> Ist das bis jetzt richtig??
Nein, auch das ist nicht richtig.
Du meinst doch die Kurvenschar: [mm] f_k(x)=\bruch{kx^2}{x^2-2k} [/mm] oder?
Dann hast du:
[mm] u(x)=kx^2
[/mm]
$u'(x)=2kx$
[mm] v(x)=x^2-2k
[/mm]
$v'(x)=2x$
Kommst du nun weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Fr 15.09.2006 | | Autor: | scrax |
Hallo Bastiane,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Danke für die ausfürliche Erklärung (die ich verstanden habe)
Dann habe ich die 1.Ableitung gemacht:
f'(x)= [mm] -4k^2x/(x^2-2k)^2
[/mm]
Das würde dann folgende Werte für die 2.Ableitung ergeben:
u=-4k^2x
[mm] u'=-4k^2
[/mm]
[mm] v=(x^2-2k)^2
[/mm]
[mm] v'=2(x^2-2k)2x
[/mm]
Ist das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 16.09.2006 | | Autor: | scrax |
Super, danke Bastiane.
Ich hab dann weiter gerechnet:
2. Ableitung:
[mm] f''_\k_\(x)= 12k^2x^2+8k^3/(x^2-2k)^3
[/mm]
doppelte Nullstelle (Hochpunkt) bei (0/0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0/-2k)
Asymptote bei k
Nun muß ich eine Skizze für k=2 anfertigen, wobei ich nicht weiß wie ich die Pol-Arten bestimmen soll?
Soll ich das allgemein berechnen oder kann ich für k einfach die 2 einsetzen??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 So 17.09.2006 | | Autor: | scrax |
| Aufgabe | | "Es sei u>2. Die Punkte A(0/0), B(u/0), [mm] C(u/f_{2}(u)) [/mm] und D(0/4) sind die Eckpunkte eines Trapezes. Betimmen Sie u o, dass der Flächeninhalt des Trapezes ein Minimum annimmt. |
Hallo,
danke Zwerglein und Sigrid. Das mit dem Schnittpunkt der y-Achse nicht angehen kann, hab ich spätestens bei der Skizze gemerkt...
Die Aufgabe oben ist eine Zusatzaufgabe zu der Kurvenschar, aber ich weiß nicht mal wie man da ran gehen soll?!?
Ich hab bis jetzt nur die Eckpunkte A und D einzechnen können...
Kann mir jemand bitte helfen??
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Hi, scrax,
> "Es sei u>2. Die Punkte A(0/0), B(u/0), [mm]C(u/f_{2}(u))[/mm] und
> D(0/4) sind die Eckpunkte eines Trapezes. Betimmen Sie u o,
> dass der Flächeninhalt des Trapezes ein Minimum annimmt.
> Hallo,
Du weißt aber, dass es sich um die Funktion [mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{2x^{2}}{x^{2}-4} [/mm] handelt?
Also: 2 Pole bei x=2, x=-2, eine waagrechte Asymptote bei y=2.
Nun, die Punkt A und D sind ja kein Problem. Die Punkte B und C hingegen sind variabel, liegen aber immer rechts vom Pol x=2 (u > 2 ist ja vorgegeben!!)
Zeichne sie halt mal z.B. für u = 3 ein, also: B(3/0) und C(3; f(3)) genau senkrecht über B auf dem Graphen.
So; und nun zeichne das Trapez ABCD.
Wie Du an der Skizze siehst, liegt das Trapez sozusagen um 90° gedreht, denn die parallelen Seiten sind [AD]und [BC]; die "Höhe" ist [AB].
Für die Fläche Deines Trapezes gilt dann:
F = [mm] \bruch{1}{2}*(\overline{AD} [/mm] + [mm] \overline{BC})*\overline{AB}
[/mm]
Dies musst Du nun in Abhängigkeit von u ausdrücken, wobei Du verwenden kannst:
[mm] \overline{AD} [/mm] = 4.
[mm] \overline{BC} [/mm] = [mm] y_{C} [/mm] = f(u).
[mm] \overline{AB} [/mm] = u.
Muss ich noch mehr erläutern?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 17.09.2006 | | Autor: | scrax |
hallo zwerglein,
vielen Dank für die aufürliche Antwort... Ich konnte alles nachvollziehen (obwohl ich normalerweise eine Niete in Mathe bin, aber hast du ja sicher gemerkt)
Nur: muß ich jetzt viele verschiedene Zahlen für u einsetzen um rauszubekommen wann die Trapezfläche ein Minimum annimmt?? Oder gibt es da auch irgeneine Formel??
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Hi, scrax,
> vielen Dank für die ausführliche Antwort... Ich konnte alles
> nachvollziehen (obwohl ich normalerweise eine Niete in
> Mathe bin, aber hast du ja sicher gemerkt)
Kannst ja wohl kaum eine Niete sein, wenn Du das alles auf Anhieb nachvollziehen konntest! Ist nämlich gar keine so leichte Aufgabe!
> Nur: muß ich jetzt viele verschiedene Zahlen für u
> einsetzen um rauszubekommen wann die Trapezfläche ein
> Minimum annimmt?? Oder gibt es da auch irgeneine Formel??
Du hast jetzt eine neue Funktion mit der Variablen u
(statt wie sonst immer x).
Für diese Funktion suchst Du nun auf üblichem Weg ein Minimum:
Ableiten,
Ableitung =0 setzen, usw.
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 So 17.09.2006 | | Autor: | scrax |
Kannst ja wohl kaum eine Niete sein, wenn Du das alles auf Anhieb nachvollziehen konntest! Ist nämlich gar keine so leichte Aufgabe!
Danke!!!!!!!! (das steigert mein Selbstwertgefühl enorm)
Du hast jetzt eine neue Funktion mit der Variablen u
(statt wie sonst immer x).
Für diese Funktion suchst Du nun auf üblichem Weg ein Minimum:
Ableiten,
Ableitung =0 setzen, usw.
Alles klar?
Ja, alles klar!!
Danke für die Hilfe....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Bastiane,
> > f(x)= [mm]k\* x^2/x^2-2k[/mm] wobei: [mm]k=\IR+[/mm]
> >
> > 1.Definitionsbereich: [mm]\IR\setminus\{o;2k\}[/mm] (ist das
> > richtig??)
>
> Nein, das ist nicht richtig. Wenn du die 0 einsetzt, ist
> die Funktion definiert, es gilt f(0)=0, und auch 2k darfst
> du durchaus einsetzen. Was nicht definiert ist, ist die
> Zahl, so dass der Nenner =0 wird. Also [mm]x^2-2k=0 \gdw x^2=2k \gdw x=\wurzel{2k}.[/mm]
Aus [mm] x^{2} [/mm] = 2k ergibt sich: [mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{2k}.
[/mm]
Die Funktion hat demnach ZWEI Definitionslücken!
mfG!
Zwerglein
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ja, das ist richtig. 
Theoretisch gäbe es natürlich noch die Möglichkeit, den Nenner erst auszumultiplizieren, aber meistens ist das glaube ich umständlicher als es so direkt zu machen. Nur, falls du Langeweile hast und einen zweiten Weg zum Vergleichen haben willst. 
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
