gegenseitige Lage von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 So 27.08.2006 | | Autor: | B-LaSh |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gegeben sind 2 Ebenengleichungen
[mm] E_{1}: x_{1}+3x_{2}-2x_{3}+1=0
[/mm]
[mm] E_{2}: 2x_{1}-x_{2}-x_{3}+4=0
[/mm]
Aufgabe ist es, ihre Lage festzustellen und gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden anzugeben.
da ihre Koeffizientenvektoren
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ -2 } [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -1 } [/mm] linear unabhängig sind, müssen sich die beiden Ebenen schneiden.
Allerdings komme ich auf keine Geradengleichung...
habe mir überlegt beide Terme gleich zusetzen, was zu
[mm] x_{1}-4x_{2}+x_{3}+3=0
[/mm]
führt. aber das ist ja imemr noch eine Ebenengleichung =(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 27.08.2006 | | Autor: | B-LaSh |
es gibt ja keine parameterfreie darstellung für Geraden im [mm] \IR^{3}
[/mm]
aber die Ebenengleichungen erst in Parameterform zubringen und dann die Geradengleichung zu bestimmen wäre doch viel zu umständlich?
Es muss doch ansich einen viel einfacheren Weg geben?
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Hi, B-LaSh,
> es gibt ja keine parameterfreie darstellung für Geraden im
> [mm]\IR^{3}[/mm]
So ist es!
> aber die Ebenengleichungen erst in Parameterform zubringen
> und dann die Geradengleichung zu bestimmen wäre doch viel
> zu umständlich?
Ja, aber wenn Du nur EINE davon in die PF bringst und diese dann in die KF der anderen einsetzt, kommst Du auch zum Ziel!
Dieser Weg ist zwar ein bissl umständlicher als der aus meiner ersten Antwort, aber gehen tut's auch!
mfG!
Zwerglein
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Hi, B-LaSh,
> gegeben sind 2 Ebenengleichungen
>
> [mm]E_{1}: x_{1}+3x_{2}-2x_{3}+1=0[/mm]
>
> [mm]E_{2}: 2x_{1}-x_{2}-x_{3}+4=0[/mm]
>
> Aufgabe ist es, ihre Lage festzustellen und gegebenenfalls
> die Gleichung der Schnittgeraden anzugeben.
>
> da ihre Koeffizientenvektoren
>
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ -2 }[/mm] , [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ -1 }[/mm] linear
> unabhängig sind, müssen sich die beiden Ebenen schneiden.
Richtig!
> habe mir überlegt beide Terme gleich zusetzen, was zu
>
> [mm]x_{1}-4x_{2}+x_{3}+3=0[/mm]
Das wäre nur dann sinnvoll, wenn wenigstens ein Koeffizient rausfiele.
Wenn Du z.B. die Gleichung von [mm] E_{1} [/mm] zuvor mit 2 multiplizierst und dann gleichsetzt, fällt [mm] x_{1} [/mm] weg. Deine Gleichung enthält nur noch [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}.
[/mm]
Nun setzt Du z.B. fest: [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda.
[/mm]
Dann kannst Du [mm] x_{2} [/mm] und schließlich auch [mm] x_{3} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \lamda [/mm] berechnen und kannst so eine Parametergleichung der Schnittgeraden erstellen.
Probier's mal!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 27.08.2006 | | Autor: | B-LaSh |
danke für den Tipp.
Habe jetzt die erste Geichung mit 2 multipliziert und dann gleichgesetzt.
dann komm ich auf
[mm] 7x_{2}-3x_{3}-2=0
[/mm]
das reicht doch schon oder?
würde ich [mm] x_{3}/lambda [/mm] setzen und nach [mm] x_{2} [/mm] auflösen käme ich auf
[mm] x_{2}= \bruch{2}{7}+\bruch{3}{7} [/mm] /lambda
ich wüsste aber nicht inwiefern mir das weiterhelfen sollte =(
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Hallo B-LaSh!
Naja, jetzt bist du doch auf dem richtigen Weg.
Nun weißt du, daß
[mm] x_{3}= 0+\lambda [/mm] (die Null steht zum besseren Verständnis für die Erklärung weiter unten da!)
[mm] x_{2}=\bruch{2}{7}+\bruch{3}{7}\lambda
[/mm]
Jetzt gilt es nur noch [mm] x_{1} [/mm] durch [mm] \lambda [/mm] darzustellen. Nimm dazu eine der beiden Ebenen, setze dafür deine bisherigen Darstellungen für [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] ein und stelle nach [mm] x_{1} [/mm] um.
Wenn du die Gleichungen nun noch in vektorieller Schreibweise anordnest hast du die Parameterform der Schnittgerade ermittelt. Das ganze sollte dann ungefähr so aussehen (die ermittelte Darstellung für [mm] x_{1} [/mm] musst du natürlich noch dementsprechen eintragen):
[mm] g:\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\overrightarrow{x}= \vektor{? \\ \bruch{2}{7} \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{? \\ \bruch{3}{7} \\ 1}
[/mm]
(hier taucht die oben erwähnte Null als [mm] x_{3}-Koordinate [/mm] des Stützvektors der Geraden wieder auf)
Gruß,
Tommy
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