gekoppelte DLG entkoppeln < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Acacia |
| Aufgabe | Betrachten Sie ein System von zwei mathematischen Pendeln mit gleicher Länge l = 0,5m (masselose Stangen) und gleicher Masse m = 0,5kg. Beide Massen seien durch eine masselose Feder (Federkonstante D) miteinanden verbunden. Die Feder sei entspannt, wenn beide Pendel senkrecht unter ihren Aufhängepunkten hängen. Lösen Sie die gekoppelten Differentialgleichungen.
(Hinweis: Schreiben Sie das System der beiden gekoppelten DGL hin, formen Sie so um, dass Sie zwei entkoppelte DGLs erhalten, und geben Sie die allgemeine Läsung für beide Pendel an) |
Hallo erstmal^^
Also die Ausgangsgleichungen stehen im Skript und lauten wie folgt:
[mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1} [/mm] = (- [mm] \bruch{g}{l} [/mm] - [mm] \bruch{D}{m} )\alpha_{1} [/mm] + [mm] \bruch{D}{m} \alpha_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{2} [/mm] = [mm] \bruch{D}{m}\alpha_{1} [/mm] + (- [mm] \bruch{g}{l} [/mm] - [mm] \bruch{D}{m})\alpha_{2}
[/mm]
Ziel ist es jetzt, diese Gleichungen zu entkoppeln.
Das kann man jetzt in eine Matrix reinschreiben
[mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \vektor{ \alpha_{1} \\ \alpha_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} & \bruch{D}{m} \\ \bruch{D}{m} & - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} } \vektor{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}
[/mm]
und diese Matrix diagonalisieren. Jedoch steht im Skript dann folgendes:
[mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} [/mm] ξ+ = [mm] -\bruch{g}{l} [/mm] ξ+
[mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} [/mm] ξ- = [mm] (-\bruch{g}{l} [/mm] - [mm] \bruch{2D}{m} [/mm] ) ξ-
mit ξ+ = [mm] \alpha_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2}
[/mm]
ξ- = [mm] \alpha_{1} [/mm] - [mm] \alpha_{2}
[/mm]
aber ξ+ und ξ- hängen doch von [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2} [/mm] ab, also sind die gleichungen doch garnicht entkoppelt.
Muss man nicht einen Ausdruck finden wie:
[mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1} [/mm] = [mm] ...\alpha_{1} [/mm] ?
Dass [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1} [/mm] nur von [mm] \alpha_{1} [/mm] abhängt und NICHT von [mm] \alpha_{2}?? [/mm]
Bin für jeden Rat sehr dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Acacia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachten Sie ein System von zwei mathematischen Pendeln
> mit gleicher Länge l = 0,5m (masselose Stangen) und
> gleicher Masse m = 0,5kg. Beide Massen seien durch eine
> masselose Feder (Federkonstante D) miteinanden verbunden.
> Die Feder sei entspannt, wenn beide Pendel senkrecht unter
> ihren Aufhängepunkten hängen. Lösen Sie die gekoppelten
> Differentialgleichungen.
> (Hinweis: Schreiben Sie das System der beiden gekoppelten
> DGL hin, formen Sie so um, dass Sie zwei entkoppelte DGLs
> erhalten, und geben Sie die allgemeine Läsung für beide
> Pendel an)
> Hallo erstmal^^
>
> Also die Ausgangsgleichungen stehen im Skript und lauten
> wie folgt:
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1}[/mm] = (- [mm]\bruch{g}{l}[/mm] -
> [mm]\bruch{D}{m} )\alpha_{1}[/mm] + [mm]\bruch{D}{m} \alpha_{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{2}[/mm] = [mm]\bruch{D}{m}\alpha_{1}[/mm] +
> (- [mm]\bruch{g}{l}[/mm] - [mm]\bruch{D}{m})\alpha_{2}[/mm]
>
> Ziel ist es jetzt, diese Gleichungen zu entkoppeln.
>
> Das kann man jetzt in eine Matrix reinschreiben
>
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}} \vektor{ \alpha_{1} \\ \alpha_{2} }[/mm] =
> [mm]\pmat{ - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} & \bruch{D}{m} \\ \bruch{D}{m} & - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} } \vektor{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm]
>
> und diese Matrix diagonalisieren. Jedoch steht im Skript
> dann folgendes:
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}}[/mm] ξ+ = [mm]-\bruch{g}{l}[/mm] ξ+
> [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}}[/mm] ξ- = [mm](-\bruch{g}{l}[/mm] - [mm]\bruch{2D}{m}[/mm]
> ) ξ-
>
> mit ξ+ = [mm]\alpha_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2}[/mm]
> ξ- = [mm]\alpha_{1}[/mm] - [mm]\alpha_{2}[/mm]
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> aber ξ+ und ξ- hängen doch von [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2}[/mm]
> ab, also sind die gleichungen doch garnicht entkoppelt.
> Muss man nicht einen Ausdruck finden wie:
>
> [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1}[/mm] = [mm]...\alpha_{1}[/mm] ?
> Dass [mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1}[/mm] nur von [mm]\alpha_{1}[/mm]
> abhängt und NICHT von [mm]\alpha_{2}??[/mm]
>
Im neuen System muss das so sein:
[mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}} u_{1} = \lambda_{1}u_{1}[/mm]
[mm]\bruch{d^{2}}{dt^{2}} u_{2} = \lambda_{2}u_{2}[/mm]
,wobei [mm]\lambda_{1}, \ \lambda_{2}[/mm] die Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{ - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} & \bruch{D}{m} \\ \bruch{D}{m} & - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} }[/mm]
sind.
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> Bin für jeden Rat sehr dankbar :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 02.01.2012 | | Autor: | Acacia |
Hi MathePower, danke für deine Antwort ;)
Im neuen System muss das so sein:
$ [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} u_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{1}u_{1} [/mm] $
$ [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} u_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{2}u_{2} [/mm] $
,wobei $ [mm] \lambda_{1}, [/mm] \ [mm] \lambda_{2} [/mm] $ die Eigenwerte der Matrix
$ [mm] \pmat{ - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} & \bruch{D}{m} \\ \bruch{D}{m} & - \bruch{g}{l} - \bruch{D}{m} } [/mm] $
sind.
Ich denke einfach bei dem Begriff "entkoppeln" daran, dass man zwei Gleichungen der Form :
$ [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1} [/mm] $ = $ [mm] ...\alpha_{1} [/mm] $
$ [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{2} [/mm] $ = $ [mm] ...\alpha_{2} [/mm] $
aufstellt muss, also so, dass [mm] \bruch{d^{2}}{dt^{2}} \alpha_{1} [/mm] NICHT mehr von [mm] \alpha_{2} [/mm] abhängt.
Ansonsten braucht man doch immer die Auslenkwinkel beider Pendel, und das will man doch vermeiden, oder nicht?
Oder verstehe ich das "entkoppeln" einfach nur falsch?
Gruß Acaia :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Di 03.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine 2 Gl füer [mm] \xi [/mm] sind entkoppelt, da dei Gl für [mm] \xi_+ [/mm] und [mm] \xi_- [/mm] ja nicht gekoppelt sind. [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] selbst kannst du nicht entkoppeln.
Physikalisch hat das System 2 "Eigenschwingungen", eine mit [mm] \omega^2=g/l [/mm] wenn beide mit gleicher Auslenkung in eine Richtung ausgelenkt werden, eine mit [mm] \omega^2=g/l+2D/m [/mm] wenn beide in entgegengesetzter Richung schwingen (der Mittelpunkt der Feder bleibt fest.
alle anderen schwingungen sind Überlagerungen (additionen) diese 2 Schwingungen.
Gruss leduart
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