gekoppelte, partielle DGLen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Do 20.10.2011 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial z}$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial z}$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}=0$ [/mm] |
Hallo,
obige partielle, gekoppelte Differentialgleichungen sind gegeben. Ich bin mit der Theorie partieller Differentialgleichungen leider nicht so vertraut. Die einzige Information, die ich den Gleichungen entnehmen kann ist, dass $f(y,z)$ und $g(y,z)$ jeweils nur von y und z abhängen. Wie löst man sowas, bzw. gibt es überhaupt eine Lösung? Ich würde mich über einen Hinweis (wenn auch nur ein Stichwort, wonach ich suchen muss) freuen.
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Do 20.10.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> [mm]\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial z}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial z}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> obige partielle, gekoppelte Differentialgleichungen sind
> gegeben. Ich bin mit der Theorie partieller
> Differentialgleichungen leider nicht so vertraut. Die
> einzige Information, die ich den Gleichungen entnehmen kann
> ist, dass [mm]f(y,z)[/mm] und [mm]g(y,z)[/mm] jeweils nur von y und z
> abhängen. Wie löst man sowas, bzw. gibt es überhaupt
> eine Lösung? Ich würde mich über einen Hinweis (wenn
> auch nur ein Stichwort, wonach ich suchen muss) freuen.
>
Es gibt natürlich keine eindeutige Lösung. In den Variablen y, z sind das gerade die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) . D.h. f,g eingeschränkt auf y,z bilden Real- bzw. Imaginärteil einer holomorphen Funktion. Andererseits liefert jede holomorphe Funktion, zusammen mit zwei Konstanten, eine Lösung. Ich geh jetzt mal davon aus, dass der Definitionsbereich [mm] \mathbb{R}^{3} [/mm] ist. Dann ist jede Lösung ein Element aus [mm] \mathcal{O} (\mathbb{C}) \times \mathbb{R}^{2} [/mm]. Wobei [mm] \mathcal{O} (\mathbb{C}) [/mm] die Algebra der ganzen holomorphen Funktionen ist.
Beste Grüße,
Berieux
> Gruß,
>
> notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Sa 22.10.2011 | | Autor: | notinX |
Hi Berieux,
ja der Definitonsbereich ist [mm] $\mathbb{R}^{3}$. [/mm] Danke für den Hinweis, damit konnte ich das Problem lösen.
Gruß,
notinX
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