geom. und arithm Vielfachheit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mi 07.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe 1 | | A= [mm] \pmat{ 2 & 2 &3\\ 5,5 & 0 & -10,5\\ 3& 2 &1 } [/mm] |
| Aufgabe 2 | a, Das charakteristische Polynom ist [mm] \lambda^3 -3\lambda^2 [/mm] + [mm] 3\lambda [/mm] -1
b Eigenwerte sind 1;1;1;
c somit sind die Eigenvetoren [mm] v_1= \vektor{6\\-9\\4}
[/mm]
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Meine Frage ist nun was ist die arithemtische und geometrische Vielfachheit von [mm] v_1?
[/mm]
arithmetische Vielachheit ist doch 3 da 1 gleich dreifacher Eigenwert ist, oder?
die geometrische Vielfachheit ist doch die Anzahl unabhängiger Eigenvektoren, oder? wäre sie dann 1?
Danke schon mal
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:33 Mi 07.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Danke für deine Antwort.
Ich muss zugeben bei der geometrischen Vielfachheit hab ich einfach vermutet das es 1 seinen muss , da allle 3 Eigenvekotren gleich sind.
Wenn das nun nicht so ist muss ich dann einfach ein Gleichungsystem mit den 3 Eigenvektoren aufstellen und die lineare un/abhängigkeit wie gewohnt prüfen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Danke für deine Antwort.
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> Ich muss zugeben bei der geometrischen Vielfachheit hab ich
> einfach vermutet das es 1 seinen muss , da allle 3
> Eigenvekotren gleich sind.
>
> Wenn das nun nicht so ist muss ich dann einfach ein
> Gleichungsystem mit den 3 Eigenvektoren aufstellen und die
> lineare un/abhängigkeit wie gewohnt prüfen?
Ich muss gestehen, dass ich die Frage nicht so ganz verstehe.
Wie hast du denn den Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=1$ berechnet?
Du hast doch sicher die Matrix $A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_3}=A-1\cdot{}\mathbb{E}_3=A-\mathbb{E}_3$ in Zeilenstufenform gebracht, also den Kern von $(A-1\cdot{}\mathbb{E}_3)$ bestimmt.
Das ist der Eigenraum zum Eigenwert $\lambda=1$
Die Matrix $(A-\mathbb{E}_3)$ hat den Rang 2, also hast du nur eine frei wählbare Variable, der Eigenraum wird damit also nur von einem Vektor aufgespannt, ist also eindimensional, also ist die geometrische VFH zum Eigenwert $\lambda=1$ eben 1
Da gibt's nix zu raten ...
Erkläre mal genauer, was du meinst ...
LG
schachuzipus
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