geometrische Bedeutung? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Di 23.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
hab folgendes Problem, dass mein Dozent mir Aufgaben stellt und wir den dazugehörigen Stoff noch nicht behandelt haben. Mein Tutor hat uns nur vage gesagt wie es gehen soll.
Aufgabe: Sei V ein Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit der Basis {(1,0),(0,1)}. Welche geometrische Bedeutung haben die Abbildungen, die bezüglich dieser Basis durch die folgenden Matrizen beschrieben werden?
a) [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
c) [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
d) [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 2 }
[/mm]
So wie ich meinen Tutor verstanden habe soll ich jetzt die Matrizen mit den Basisvektoren multiplizieren und dann schauen was passiert ist(Spiegelung...).
[mm] b_1=(1,0), b_2=(0,1) [/mm] und A die jeweilige Matrix
Schreibe nur noch die Ergebnisse von der Multiplikation hin und sage was es sein soll.
a) [mm] A*b_1= [/mm] (0,-1) [mm] A*b_2=(1,0) [/mm] Drehung um 90° ???
b) [mm] A*b_1= [/mm] (0,1) [mm] A*b_2=(1,0) [/mm] Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden?
c) [mm] A*b_1= [/mm] (-1,0) [mm] A*b_2=(0,-1) [/mm] Invertierung?
d) [mm] A*b_1= [/mm] (1,0) [mm] A*b_2=(-1,2) [/mm] ???
Ist diese Vorgehensweise richtig? Stimmen die Matrixmultiplikationen(noch nicht gehabt)? Hab ich die geometrischen Bedeutungen richtig erfasst?
Vielen Dank für Hilfe beim Klären dieser Fragen.
MFG Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Di 23.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin Shaguar!
zuerst mal die Multiplikation:
[mm] \pmat{a&b\\c&d}\vektor{x\\y}=\vektor{ax+by\\cx+dy}
[/mm]
rechne deine Ergebnisse nochmal nach vielleicht ham sich da ja Fehler eingeschlichen.
Die geometrische Deutung machen wir mal an Bsp. a) der Rest dann analog.
a)
[mm] \pmat{0&1\\-1&0}\vektor{x\\y}=\vektor{y\\-x}
[/mm]
d.h. der [mm] Vektor\vektor{x\\y} [/mm] wird auf den [mm] Vektor\vektor{y\\-x} [/mm] abgebildet.
um nun zu schauen was das für eine Abbildung ist setzen wir für x,y die Koordinaten der Einheitsvektoren des [mm] \IR^{2} [/mm] ein:
[mm] \vektor{1\\0}\to\vektor{0\\-1}
[/mm]
[mm] \vektor{0\\1}\to\vektor{1\\0}
[/mm]
für beide Vektoren muß die gleiche Abbildung gelten.
D.h. wenn der eine um [mm] \alpha [/mm] gedreht wird muß der andere auch um [mm] \alpha [/mm] gedreht werden. Es sei denn er ist die Drehachse und somit Fixpunkt der Abbildung.
Mal dir doch ein Koordinatensystem und in dieses die Orginale und auch die Bilder der Einheitsvektoren.
Bei a) wirst du sehen das beide Vektoren um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedreht werden.
Deine Matrix [mm] A=\pmat{0&1\\-1&0} [/mm] beschreibt also eine Drehung um 90 Grad im Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung.
noch Fragen?
MfG zwerg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 23.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
k also Rechenfehler habe ich keine gefunden und wenn ich aus der Inventierung ne Drehung um 180° mach dann stimmt das ja.Ich hab das alles aufgezeichnet sonst wäre ich auch nicht auf die Ideen gekommen. Aber d) hat keine geometrische Bedeutung oder? also ich wüßte nicht was das sein sollte, zumal der eine Vektor ja bleibt und der andere drehgestreckt wird.
Ist des dann alles so richtig?
Vielen Dank Shaguar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Shaguar
> Moin,
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> k also Rechenfehler habe ich keine gefunden und wenn ich
> aus der Inventierung ne Drehung um 180° mach dann stimmt
> das ja.Ich hab das alles aufgezeichnet sonst wäre ich auch
> nicht auf die Ideen gekommen. Aber d) hat keine
> geometrische Bedeutung oder? also ich wüßte nicht was das
> sein sollte, zumal der eine Vektor ja bleibt und der andere
> drehgestreckt wird.
> Ist des dann alles so richtig?
Also bei d) handelt es sich um eine Parallelstreckung an der [mm] x_1-Achse [/mm] in Richtung der Geraden y=-x mit dem Streckfaktor 2. Das kannst du feststellen, indem du noch von weiteren Punkten die Bildpunkte berechnest und zeichnest.
Gruß Sigrid
>
> Vielen Dank Shaguar
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
> Hallo Shaguar
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> > Moin,
> >
> > k also Rechenfehler habe ich keine gefunden und wenn ich
>
> > aus der Inventierung ne Drehung um 180° mach dann stimmt
>
> > das ja.Ich hab das alles aufgezeichnet sonst wäre ich
> auch
> > nicht auf die Ideen gekommen. Aber d) hat keine
> > geometrische Bedeutung oder? also ich wüßte nicht was das
>
> > sein sollte, zumal der eine Vektor ja bleibt und der
> andere
> > drehgestreckt wird.
> > Ist des dann alles so richtig?
>
> Also bei d) handelt es sich um eine Parallelstreckung an
> der [mm]x_1-Achse[/mm] in Richtung der Geraden y=-x mit dem
> Streckfaktor 2. Das kannst du feststellen, indem du noch
> von weiteren Punkten die Bildpunkte berechnest und
> zeichnest.
> Gruß Sigrid
> >
> > Vielen Dank Shaguar
> >
Moin,
bist du dir da sicher? Wenn es eine lineare Abbildung wäre, müsste doch mit allen Vektoren das "gleiche passieren oder? (1,0) wird auf sich selber abgebildet und (0,1) auf (-1,2) das würde der Aussage ja wiedersprechen. Was meint den Parallelstreckung? (-1,2) ist zu nich parallel zu y=-x (2.Winkelhalbierende). (1,1) wird zu (0,2) da würde die Aussage stimmen aber bei (2,1)=> (1,2) ist wieder keine Streckung drinnen. Wäre das nicht alles eine plausible Erklärung dafür, das die Matrix d) keine lineare Abbildung ist?
Gruß Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 So 28.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
>
Was ich meine, ist folgendes:
Die Gerade PP' (P' Bildpunkt von P) ist parallel zur 2. Winkelhalbierenden. Außerdem ist die Länge der Strecke RP' (R ist der Schnittpunk der Geraden PP' mit der x-Achse) doppelt so lang wie die Strecke RP)
Gruß Sigrid
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