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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 28.05.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die extremwertverdächtigen Punkte von [mm] z=f(x,y):=x^2+y^2
[/mm]
unter der Nebenbedingung [mm] g(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-1=0!
[/mm]
Interpretieren Sie die Aufgabenstellung geometrisch im [mm] |R^3! [/mm] |
Hallo,
ich habe alle kritischen Punkte berechnet und weiß auch, dass das f(x,y) ein Hyperboloid ist, welches ich mir auch vorstellen kann.
Aber was ist g(x,y) ein Körper bzw. wie sieht das ganze denn dann aus wenn ich beide Körper betrachte? Hat da jemand eine Idee/Vorstellung?
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 28.05.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Anne!
> Bestimmen Sie die extremwertverdächtigen Punkte von
> [mm]z=f(x,y):=x^2+y^2[/mm]
> unter der Nebenbedingung [mm]g(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-1=0![/mm]
> Interpretieren Sie die Aufgabenstellung geometrisch im
> [mm]|R^3![/mm]
> ich habe alle kritischen Punkte berechnet und weiß auch,
> dass das f(x,y) ein Hyperboloid ist, welches ich mir auch
> vorstellen kann.
Ist das nicht ein Paraboloid?
> Aber was ist g(x,y) ein Körper bzw. wie sieht das ganze
> denn dann aus wenn ich beide Körper betrachte? Hat da
> jemand eine Idee/Vorstellung?
g beschreibt eine Kurve in der x-y-Ebene. Wenn ich z nur für die Punkte auf g bereche, legt diese Nebenbedingung eine Raumkurve fest. g ist ein (gedrehter und verschobener) Kegelschnitt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 28.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich meinte einen Paraboloid 
Ok, also g(x,y)=0, das habe ich nicht beachtet, also ist z=0 und wir haben eine Kurve in der x-y-Ebene. Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe müsste es eine gedrehte Ellipse sein mit einem Drehwinkel von [mm] \bruch{\pi}{4}.
[/mm]
Was sind dann die kritischen Punkte, die ich berechnet habe? Die Schnittpunkte? Das Paraboloid allein hat ja sonst nur ein Extrema, aber man kommt auf 4 kritische Punkte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 28.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Was sind dann die kritischen Punkte, die ich berechnet
> habe? Die Schnittpunkte?
Nee, die nich! Die entstehende Kurve ist so eine Art krumme Ellipse im Raum,...
> Das Paraboloid allein hat ja sonst
> nur ein Extrema, aber man kommt auf 4 kritische Punkte.
...die hat 2 Tiefpunkte und 2 Hochpunkte. Ich hab jetzt leider nicht mehr Zeit, sorry.
Ciao
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:11 Mi 28.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Das verstehe ich noch nicht ganz bzw. ich kann es mir nicht vorstellen. Hat jemand noch eine Idee für die Anschauung?
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 12:29 Fr 30.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi KollegInnen!
Kann hier jemand mit einer geeigneten Software noch ganz fix ein schickes Bild produzieren?
Danke
Dieter
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Hallo,
ich meine, daß der steppenhahn das kann.
Ich rufe ihn mal: Step-pen-hahn!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Fr 30.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich meine, daß der steppenhahn das kann.
>
> Ich rufe ihn mal: Step-pen-hahn!
>
> Gruß v. Angela
Und da sage noch einer, Mathematiker wären langweilig. Manchmal haben die richtig Humor...
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Das ist der normale Paraboloid [mm] x^{2}+y^{2}, [/mm] Intervall [0,2]:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deine Nebenbedingungsfunktion [mm] 2*x^{2}+2*y^{2}-2*x*y-1 [/mm] sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man kann schon die Ellipsenfunktion erkennen. Nun zeig ich dir mal die Nullstellen der Funktion, sie sind die äußeren Punkte des folgenden Bildes (Ich habe die Funktion einfach von oben betrachtet, und beim Plotten als höchsten z-Wert 0 zugelassen):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Praktisch sind es also nur die folgenden Punkte (x,y), die die Nebenbedingung zulässt für den Graphen der Funktion [mm] x^{2}+y^{2}:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Weil eben nur dort die Nebenbedingung erfüllt ist.
Und nun musst du dir vorstellen, dass der Graph des Paraboloiden [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] nur für diese Punkte (x,y) gezeichnet wird; dann entsteht eine Art Kurve, die zwei Hochpunkte und zwei Tiefpunkte hat. Ich habe das mal versucht darzustellen, aber es ist mir nicht besonders gelungen.
Du musst dir bei dem folgenden Bild nur die oberen Randpunkte der Form vorstellen, das ist der Graph von f(x,y) mit der Nebenbedingung. Den Original-Graph hab ich mal transparent dahintergelegt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Entstanden ist das Bild praktisch durch einen Schnitt aus einem "Zylinder", der genau die Maße des Definitionsbereichs durch die Nebenbedingung hatte, mit der Parabel. So kann man sich das auch am besten vorstellen!
Hier nochmal ein Bild von Funktion f(x,y), wie sie nun endgültig und mit Nebenbedingung aussieht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 6 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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