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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Schönen guten Abend!
hab mal ne frage, ob ich folgende aufgabe richtig aufgefasst habe:
sei a eine reelle zahl und n eine natürliche. rechnen sie nach:
[mm] \summe_{k=0}^{n} a^{k}= [/mm] n+1 für a =1
= (1- [mm] a^{n+1})/(1-a) [/mm] für a [mm] \not= [/mm] 1
ich hab für a=1 jetzt mal die ersten glieder aufgeschrieben:
[mm] 1^{0}+ 1^{1}+ 1^{2}+.....+ 1^{n-1}+ 1^{n}
[/mm]
und hier ist ja zu sehen, dass es genau n+1 summanden sind, weil die 0 ja noch mitgezählt wird
für [mm] a\not= [/mm] 1 hab ich an vollständige induktion gedacht:
[mm] \summe_{k=0}^{n} a^{k}=(1- a^{n+1})/(1-a) [/mm]
für n=0 [mm] \summe_{k=0}^{0} a^{k}=1=(1- a^{0+1})/(1-a)
[/mm]
und nun von n auf n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} a^{k}=\summe_{k=0}^{n} a^{k}+a^{k+1}
[/mm]
= (1- [mm] a^{k+1})/(1-a)+a^{k+1}
[/mm]
=(1- [mm] a^{k+1+1})/(1-a)= [/mm] (1- [mm] a^{k+2})/(1-a) [/mm] q.e.d
hab ich die aufgabe jetzt richtig verstanden oder wie ist das mit dem nachrechnen gemeint? kann ich das vielleicht für a=1 noch besser erklären?
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Do 17.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
> hab mal ne frage, ob ich folgende aufgabe richtig
> aufgefasst habe:
> sei a eine reelle zahl und n eine natürliche. rechnen sie
> nach:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a^{k}=[/mm] n+1 für a
> =1
> = (1-
> [mm]a^{n+1})/(1-a)[/mm] für a [mm]\not=[/mm] 1
>
> ich hab für a=1 jetzt mal die ersten glieder
> aufgeschrieben:
> [mm]1^{0}+ 1^{1}+ 1^{2}+.....+ 1^{n-1}+ 1^{n}[/mm]
> und hier ist
> ja zu sehen, dass es genau n+1 summanden sind, weil die 0
> ja noch mitgezählt wird
richtig, nur das kannst du statt der Pünktchen auch mit der Summe schreiben
[mm][mm] \summe_{k=0}^{n} 1^{k}=[/mm] [mm]\summe_{k=0}^{n} 1= n+1[/mm]
und wenn die pingelig sind mit vollst. Induktion. aber eigentlich ist n+1 genauso definiert.
> für [mm]a\not=[/mm] 1 hab ich an vollständige induktion gedacht:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a^{k}=(1- a^{n+1})/(1-a)[/mm]
> für n=0 [mm]\summe_{k=0}^{0} a^{k}=1=(1- a^{0+1})/(1-a)[/mm]
> und
> nun von n auf n+1
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} a^{k}=\summe_{k=0}^{n} a^{k}+a^{k+1}[/mm]
> =
> (1- [mm]a^{k+1})/(1-a)+a^{k+1}[/mm]
> =(1- [mm]a^{k+1+1})/(1-a)=[/mm] (1- [mm]a^{k+2})/(1-a)[/mm] q.e.d
>
> hab ich die aufgabe jetzt richtig verstanden oder wie ist
> das mit dem nachrechnen gemeint? kann ich das vielleicht
> für a=1 noch besser erklären?
Ich denk das ist richtig. Man braucht aber hier keine Induktion:
Die Summe bis n sei [mm] S_{n}: [/mm] dann bilde [mm] S_{n}-a*S_{n}=1-a^{n+1}
[/mm]
Vorn [mm] S_{n} [/mm] ausklammern und dann durch (1-a) teilen.
Gruss leduart
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