geometrische Reihe, Grenzwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:03 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Es seien [mm] I_n= \integral \integral_{D}{\bruch{(xy)^n}{1+xy} dxdy} [/mm] ,
I= [mm] \integral \integral_{D}{\bruch{1}{1+xy} dxdy}, [/mm] wobei D = [0,1] x [0,1].
a) Zeigen Sie, dass 0 [mm] \le I_n \le \bruch{1}{(1+n)^2}.
[/mm]
Leiten Sie den Limes von [mm] I_n [/mm] her.
b) Zeigen Sie, dass gilt
[mm] \bruch{1}{1+xy}= \summe_{k=0}^{n-1}(-1)^k x^k y^k [/mm] + [mm] \bruch{(-xy)^n}{1+xy} [/mm] |
Hallo,
bei der a) habe ich leider noch gar keine Idee, wie das zu zeigen ist.
Für Vorschläge wäre ich sehr dankbar.
Die b) müsste man meiner Meinung nach miteiner geometrischen Reihe Lösen können:
Für die Lösung dieser Aufgabe habe ich mich folgender Formeln bedient:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_0 q^k [/mm] = [mm] \bruch{a_0}{1-q} [/mm] und
[mm] \summe_{k=0}^{n}a_0 q^k [/mm] = [mm] a_0 \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
eingesetzt: [mm] a_0 [/mm] =1 und q= -xy
[mm] \bruch{1}{1+xy} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-xy)^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^k y^k
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k x^k y^k [/mm] = [mm] \bruch{1-(-xy)^{n+1}}{1-(-xy)} \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}(-1)^k x^k y^k [/mm] = [mm] \bruch{1-(-xy)^{n}}{1+xy}
[/mm]
das sieht dem 2. Term schon sehr ähnlich, nur weiß ich leider nicht wie ich die 1 im Zähler loswerde...
Weiterhin ist mir noch unklar wie ich beide Terme miteinander verknüpfen kann...
Gruß
Marty
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Marty |
Ich denke, die 2.Frage habe ich mir gerade selbst beantwortet:
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}(-1)^k x^k y^k[/mm] = [mm]\bruch{1-(-xy)^{n}}{1+xy}[/mm] = [mm] \bruch{1}{1+xy} [/mm] - [mm] \bruch{(-xy)^n}{1+xy}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1+xy} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1}(-1)^k x^k y^k [/mm] + [mm] \bruch{(-xy)^n}{1+xy}
[/mm]
Zufällig kommt hier das richtige raus, aber ist mein Rechenweg auch richtig? :)
bei der a) bräuchte ich immernoch Hilfe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 30.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
versuch doch einfach mal b) -das du richtig hast!- nach dem Ausdruck in a aufzulösen und dann das Integral zu betrachten.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:16 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Marty |
Danke für den Tipp,
aber wie kann ich das nach [mm] \bruch{1}{(1+n)^2} [/mm] auflösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 So 02.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
