geometrische Veranschaulichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 08.04.2008 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | | Wie lassen sich geometrisch Lösungen von z² = −i finden? |
Hallo,
leider kann ich gerade mit dieser Gleichung nix anfangen. Sonst hatten wir immer etwas wie |z+1-i| < 2 mit Imz > Rez oder ähnliches.
Da kann man ja dann auch den Betrag auflösen und für z = x+iy setzen.
Bei z² = −i hab ich das Gefühl bringt mir das nix, wenn ich z = x+iy setze. Leider hab ich auch keine ander Idee an die Aufgabe heranzugehen.
Kann mir vielleicht einer von euch einen Tipp geben, wie ich an die Aufgabe rangehen kann???
Danke schonmal.
|
|
| |
|
Hallo!
Ich gebe dir einen ganz kurzen Tipp: Polarform (habt ihr bestimmt gemacht)
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 08.04.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
erstmal danke für den Tipp!
Aber so ganz bekomme ich das nicht hin. Ich weiß, dass ich eine komplexe Zahl z darstellen kann als
z = |z| [mm] (cos\alpha [/mm] + i [mm] sin\alpha)
[/mm]
und das bei der Multiplikation von komplexen Zahlen die Beträge multipliziert und die Winkel addiert werden.
Folglich hab ich doch z² = zz = |z|² [mm] (cos2\alpha [/mm] + i [mm] sin2\alpha), [/mm] oder??
Aber wenn ich das jetzt in meine Gleichung z² + i = 0 einsetze komme ich nicht weiter.
Was mach ich denn mit dem i nun???
Danke nochmal für Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Di 08.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> erstmal danke für den Tipp!
>
> Aber so ganz bekomme ich das nicht hin. Ich weiß, dass ich
> eine komplexe Zahl z darstellen kann als
>
> z = |z| [mm](cos\alpha[/mm] + i [mm]sin\alpha)[/mm]
>
> und das bei der Multiplikation von komplexen Zahlen die
> Beträge multipliziert und die Winkel addiert werden.
>
> Folglich hab ich doch z² = zz = |z|² [mm](cos2\alpha[/mm] + i
> [mm]sin2\alpha),[/mm] oder??
>
> Aber wenn ich das jetzt in meine Gleichung z² + i = 0
> einsetze komme ich nicht weiter.
>
> Was mach ich denn mit dem i nun???
>
> Danke nochmal für Hilfe.
Na, wie lautet den die Darstellung der komplexen Zahl i in Polarform?
(Betrag, Argument)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 08.04.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
also ich soll z² = -i GEOMETRISCH lösen.
Numerisch ist das nicht so schwer, da ist |z| = 1 und Arg(-i) = [mm] 3/2\pi
[/mm]
Aber geometrisch komme ich ja nicht weiter.
Wie geht das denn genau mit den Polarkoordinaten???
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Di 08.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> also ich soll z² = -i GEOMETRISCH lösen.
>
> Numerisch ist das nicht so schwer, da ist |z| = 1 und
> Arg(-i) = [mm]3/2\pi[/mm]
>
> Aber geometrisch komme ich ja nicht weiter.
> Wie geht das denn genau mit den Polarkoordinaten???
>
> Danke.
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist eine Drehstreckung. (Streckung entfällt hier, denn wenn eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird und das Ergebnis den Betrag 1 hat, dann hatte die Zahl selbst auch den Betrag 1).
Also handelt es sich hier um eine reine Drehung. Eine komplexe Zahl mit dem Betrag 1 und einem Argument [mm] \phi [/mm] wird um den Winkel [mm] \phi [/mm] weitergedreht (und landet bei [mm]3/2\pi[/mm]).
Viele Grüße
Abakus
|
|
|
|
