geometrische Vielfachheit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
mal eine ganz kurze und eigentlich peinliche Frage 
ich habe einen Eigenwert 2 und will die geometrische Vielfachheit berechnen:
[mm] ker(A-2E)=\pmat{-1& 0&0 &0\\i&-1&0&0\\i&0&0&0\\i&0&0&0}=\IR*\vektor{0\\0\\1\\1} [/mm]
ein Vektor geo. Vielfachheit 1
aber in der Lösung steht
[mm] =\IR*\vektor{0\\0\\0\\1}+\IR*\vektor{0\\0\\1\\0}
[/mm]
was ja eig. das selbe ist, aber hier waere die geo. Vielfachheit 2, da ich zwei lin. unabhaengige Vektoren habe.
Heisst es, ich muss das immer auseinander splitten?
İch weiss, dass es auch über den Rang geht, würde es aber dennoch gerne wissen.
Lg
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> Hallo,
hi ich ma wieder^^
> mal eine ganz kurze und eigentlich peinliche Frage
es gibt keine peinlichen Fragen, nur peinlich Antworten ;)
> ich habe einen Eigenwert 2 und will die geometrische
> Vielfachheit berechnen:
>
> [mm]ker(A-2E)=\pmat{-1& 0&0 &0\\i&-1&0&0\\i&0&0&0\\i&0&0&0}=\IR*\vektor{0\\0\\1\\1}[/mm]
>
> ein Vektor geo. Vielfachheit 1
>
> aber in der Lösung steht
>
> [mm]=\IR*\vektor{0\\0\\0\\1}+\IR*\vektor{0\\0\\1\\0}[/mm]
>
> was ja eig. das selbe ist, aber hier waere die geo.
> Vielfachheit 2, da ich zwei lin. unabhaengige Vektoren
> habe.
es ist eben nicht dasselbe. Du löst ja ein hom. Gleichunggsystem a la:
[mm] -x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 [/mm] + [mm] 0x_4 [/mm] = 0
[mm] ix_1 [/mm] + [mm] x_2 +0x_3 [/mm] + [mm] 0x_4= [/mm] 0
[mm] ix_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 +0x_4 [/mm] = 0
[mm] ix_1 +0x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 [/mm] + [mm] 0x_4 [/mm] = 0
aus der ersten Zeile folgt [mm] x_1 [/mm] = 0
dann aus der zweiten mit diesem Wissen [mm] x_2 [/mm] = 0
Jetzt sind [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] in jeder Zeile 0, d.h. sie sind beliebig wählbar,
also
s * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] mit s,t [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Dies ist eben nicht das gleich, als wenn du
s * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] hättest. Denn die dritte und vierte Komponente des vektors müssen nicht gleich sein, Daher läuft es über 2 Vektoren mit untersch., aber beliebigen s,t (natürlich können sie auch gleich sein ^^)
> Heisst es, ich muss das immer auseinander splitten?
>
> İch weiss, dass es auch über den Rang geht, würde es
> aber dennoch gerne wissen.
>
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Laura87 |
damke ich habs gepeilt :-D
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