geometrische Vielfachheit, Min < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 So 07.06.2009 | | Autor: | nenas |
| Aufgabe | | Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit dim V = n. Sei F [mm] \in End_{K}(V) [/mm] und [mm] P_{F}(t)=(\lambda-t)^{n} [/mm] für ein [mm] \lambda \in [/mm] K das charakteristische Polynom von F. Sei des weiteren das Minimalpolynom von F vom Grad n. Zeige, dass dann die geometrische Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] eins ist. |
Hat jemand eine Idee, wie man das lösen kann? Vielen Dank im Voraus, Nena.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit dim V = n.
> Sei F [mm]\in End_{K}(V)[/mm] und [mm]P_{F}(t)=(\lambda-t)^{n}[/mm] für ein
> [mm]\lambda \in[/mm] K das charakteristische Polynom von F. Sei des
> weiteren das Minimalpolynom von F vom Grad n. Zeige, dass
> dann die geometrische Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm] eins ist.
> Hat jemand eine Idee, wie man das lösen kann? Vielen Dank
> im Voraus, Nena.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte bitte, daß wir Lösungsansätze von Dir erwarten.
Diese können auch darin bestehen, daß Du mitteilst, was Du Dir bisher überlegt hast, wo Du steckenbleibst, was Du nicht verstehst.
An so etwas können Helfer auch in etwa erkennen, was bereits dran war.
Was weißt Du über das Minimalpolynom? Was hat es mit dem charakteristischen Polynom zu tun?
Welche Folge hat das im vorliegenden Fall?
Was kannst Du aus dem charakteristischen Polynom und dem Minimalpolynom über das Aussehen der JNF erfahren?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 So 07.06.2009 | | Autor: | nenas |
Hallo Angela,
vielen Dank!
Über das Minimalpolynom weiß ich, dass es dieselben Nullstellen hat wie das charakteristische Polynom und dass es normiert ist.
In diesem Fall habe ich die Vermutung, dass das Minimapolynom und das charakteristische Polynom übereinstimmen, da der Grad vom Minimalpolynom gleich n ist. Ist dass denn soweit richtig?
Über die JNF weiß ich leider nicht viel.
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> Hallo Angela,
> vielen Dank!
> Über das Minimalpolynom weiß ich, dass es dieselben
> Nullstellen hat wie das charakteristische Polynom und dass
> es normiert ist.
> In diesem Fall habe ich die Vermutung, dass das
> Minimapolynom und das charakteristische Polynom
> übereinstimmen, da der Grad vom Minimalpolynom gleich n
> ist. Ist dass denn soweit richtig?
Hallo,
ja, das ist goldrichtig.
> Über die JNF weiß ich leider nicht viel.
Jetzt müssen wir unterscheiden: weißt Du nicht viel, weil's an Dir vorbeigegangen ist, oder weißt Du nicht viel, weil's nicht dran war?
Aus dem charakteristischen Polynom siehst Du, daß die JNF auf der kompletten Diagonalen [mm] \lambda [/mm] stehen hat, der Jordanblock zu [mm] \lambda [/mm] also die Lange n hat.
Dem Minimalpolynom kann man entnehmen, daß das längst Jordankästchen im Jordanblock die Länge n hat. Folglich gibt es im Jordanblock nur ein Jordankästchen. Die Anzahl der Jordankästchen ist so groß wie die Dimension des Eigenraumes (=geometrische Vielfachheit des Eigenwertes. Also haben wir hier: geometrische Vielfachheit =1.
Aber ob das die Arumentation ist, die man sich bei Euch wünscht, weiß ich natürlich nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 So 07.06.2009 | | Autor: | nenas |
Vielen vielen Dank Angela für deine Antwort!
Die JNF hatten wir leider noch nicht behandelt, kann man irgendwie anders argumentieren?
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> Vielen vielen Dank Angela für deine Antwort!
> Die JNF hatten wir leider noch nicht behandelt, kann man
> irgendwie anders argumentieren?
Hallo,
klar geht das anders, der Weg über die JNF ist ja auch eher "von hinten".
Denk mal in diese Richtung: Du hast eine nxn-Matrix mit Minimalpolynom [mm] \mu_A(x)=(\lambda-x)^n.
[/mm]
Ich bin mir ziemlich sicher, daß früher mal gezeigt wurde, daß für Matrizen B gilt Kern [mm] B^i\subseteq KernB^{i+1} [/mm] für alle i.
Ebenso wurde sicher irgendwann irgendwo gezeigt, daß für endlichdimensionale Vektorräume diese "Kernketten" stationär werden.
Natürlich gilt das auch für die Matrix [mm] A-\lambda [/mm] E:.
Jetzt kommt das Minimalpolynom ins Spiel. Schau mal in Deinen Unterlagen, was der kleinste Index, ab welchen die Kette stationär wird, mit dem Minimalpolynom zu tun hat.
Dann nimm an, daß [mm] dimKern(A-\lambda E)\ge [/mm] 2 ist...
Gruß v. Angela
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