geometrischer "Beweis" < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 So 04.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Beweise geometrisch, dass für eine komplexe Zahl z=x+iy mit Im(z)>0 und z ungleich i gilt:
[mm] \left|\frac{z+i}{z-i}\right|>1 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe schon versucht, mir davon eine Skizze zu machen.
z+i kann ich zeichnen und z-i, aber wie zeichne ich [mm] \frac{z+i}{z-i}. [/mm] (ist dies überhaupt ein ins Ziel führender Weg?)
Gruß,
Rutzel
|
|
| |
|
> Beweise geometrisch, dass für eine komplexe Zahl z=x+iy
> gilt:
>
> [mm]\left|\frac{z+i}{z-i}\right|<1[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe schon versucht, mir davon eine Skizze zu machen.
>
> z+i kann ich zeichnen und z-i, aber wie zeichne ich
> [mm]\frac{z+i}{z-i}.[/mm] (ist dies überhaupt ein ins Ziel führender
> Weg?)
hallo Rutzel,
diese Behauptung ist falsch. Du hast wohl eine
zusätzliche Voraussetzung weggelassen
(ich weiss, wie sie lauten müsste  )
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 So 04.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hi,
ich habe tatsächlich was vergessen.... habe es hinzugefügt.
Gruß,
Rutzel
Edit: außerdem war noch ein fehler dirn, es sollte nich <1 sondern >1 heißen.
|
|
|
| |
|
> Beweise geometrisch, dass für eine komplexe Zahl z=x+iy
> gilt:
>
> [mm]\left|\frac{z+i}{z-i}\right|<1[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe schon versucht, mir davon eine Skizze zu machen.
>
> z+i kann ich zeichnen und z-i, aber wie zeichne ich
> [mm]\frac{z+i}{z-i}.[/mm] (ist dies überhaupt ein ins Ziel führender
> Weg?)
hallo Rutzel
Du musst [mm] \frac{z+i}{z-i} [/mm] gar nicht zeichnen. Um die
Ungleichung [mm] \left|\frac{z+i}{z-i}\right|<1 [/mm] zu beweisen,
genügt es zu zeigen, dass |z+i|<|z-i| .
Das ist aber eben nicht immer so, sondern nur
unter der zusätzlichen Voraussetzung, die
du offenbar bisher übersehen hast.
Noch ein Hinweis: |z-i| entspricht genau dem
Abstand zwischen den Punkten z und i in der
Gaußschen Ebene.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 04.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Ah, zeichnerisch ist es mir jetzt klar.
lässt sich das auch "hart" (einfach) beweisen? mit der dreiecksungleichung kam ich irgendwie nicht weiter:
|z-i|=|z-i+i-i|=|z+i-2i|>=|z+i|-|2i| hmm...
Gruß,
Rutzel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 04.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rutzel!
Das geht m.E. auch ohne Dreiecksungleichung. Aus Deiner o.g. Ungleichung lässt sich schnell machen:
[mm] $$\left|\frac{z+i}{z-i}\right| [/mm] \ > \ 1$$
$$|z+i| \ > \ |z-i|$$
Nun setze $z \ := \ a+b*i$ ein und wende anschließend die Betragsformel auf beiden Seiten an mit $|x+y*i| \ := \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 So 04.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
ah, ok danke für Eure Hilfe.
Gruß,
Rutzel
|
|
|
|
