"geordnete Menge" < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Fr 01.08.2008 | | Autor: | rainman |
Ich überlege im Moment, wie ich geordnete Elemente korrekt beschreiben kann. Im Prinzip eine einfache Aufgabenstellung, die ich selbst mit Verweis auf ein n-Tupel beantworten kann.
Allerdings... Ich denke an solche Objekte des realen Lebens, die aus einer sehr großen (aber endlichen) Anzahl von Elementen bestehen. Beispiel: die Video-Datei auf einer DVD besteht aus mehreren Milliarden Bytes (z.B. 4GB), die alle in exakt der richtigen Reihenfolge vorliegen müssen. Kann ich hier noch von einem "4GB-Tupel" sprechen? Mir erscheint das, nun, zumindest etwas ungewohnt. Ich möchte in der Lage sein, solche Objekte mathematisch korrekt zu bezeichnen. Wichtig ist mir, dass Ihnen von Anbeginn eine Ordnung inne wohnt, und diese nicht erst später geschaffen wird. Ein anderes Beispiel wäre die Einlaufreihenfolge bei einem Marathon-Lauf.
Für Hinweise und Denkansatze bin ich sehr dankbar.
Viele Grüße,
Rainer Gerhards
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Fr 01.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Rainer,
> Ich überlege im Moment, wie ich geordnete Elemente korrekt
> beschreiben kann. Im Prinzip eine einfache
> Aufgabenstellung, die ich selbst mit Verweis auf ein
> n-Tupel beantworten kann.
genau.
> Allerdings... Ich denke an solche Objekte des realen
> Lebens, die aus einer sehr großen (aber endlichen) Anzahl
> von Elementen bestehen. Beispiel: die Video-Datei auf einer
> DVD besteht aus mehreren Milliarden Bytes (z.B. 4GB), die
> alle in exakt der richtigen Reihenfolge vorliegen müssen.
> Kann ich hier noch von einem "4GB-Tupel" sprechen? Mir
Theoretisch könntest du das. Allerdings ist das nicht gebräuchlich.
Bedenke einfach:
Ein n-Tupel reeller Zahlen $x$ ist nichts weiter als eine Abbildung $x [mm] \colon \IN_n \to \IR$, [/mm] wobei [mm] $\IN_n [/mm] := [mm] \{1, \ldots, n\}$. [/mm]
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 04.08.2008 | | Autor: | rainman |
Hallo Will,
vielen Dank schon einmal für die Antwort. Ich muss, glaube ich, noch ein wenig ausholen. Es geht mir nicht um ein Tupel von reellen Zahlen, sondern um ein N-Tupel von Mengen. Der konkrete Anwendungsfall würde einige Seiten füllen, aber lass' es mich einmal am Beispiel der Videodatei erklären. Bleiben wir bei dem 4G-Tupel.
So eine Videodatei ist ein Tupel von Mengen, nämlich den Bytes (OK, 8-Tupel wäre hier angebrachter, aber ich möchte auf den Mengencharakter, ein Byte sei also eine Menge B mit genau 256 Elementen). Für jede Komponente des Video-Datei-Tupels wird also genau ein Element aus der Menge der Bytes ausgewählt.
Jetzt überlege ich, wie ich mathematisch korrekt von diesem "Video-Tupel" sprechen kann.
Ich könnte jetzt natürlich Tupel bilden mit (sequenz-ID, Byte), wobei sequenz-ID streng monoton steigt (bzw. inkrementiert wird). Dann ist meine Video-Datei also eine Menge dieser geordneten Paare. Allerdings habe ich dafür den Preis zahlen müssen, die Sequenz-ID einführen zu müssen. Das möchte ich aber möglichst vermeiden.
Von einem 4G-Tupel zu sprechen ist, wie Du sagst, ungewöhnlich, und hört sich selbst für mich irgendwie "schräg" (gewöhnungbedürftig, irgendwie falsch...) an. Ausserdem habe ich dann bei so grossen n-Tupel ein Problem, das vielleicht nur mal wieder an meinem fehlenden Wissen liegt: wie nenne ich dann das "n" - bei der Menge kann ich ja einfach von der Mächtigkeit sprechen, aber was ist das n in meinem n-Tupel?
Mir ist es wichtig, eine passende Begrifflichkeit aus der Mengenlehre zu finden, da ich das ganze zu größeren Mengen vereinigen möchte ("die Menge aller Videodateien auf dieser Platte", "die Menge aller Platten", ...).
Für Antworten wäre ich sehr dankbar. Entschuldige bitte den Verzicht auf Formeln, aber die genau sind es, die mir im Moment fehlen...
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 04.08.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo Rainer,
also aus mathematischer Sicht ist ja ein 4000000000-Tupel auch nicht viel anders als ein 4-Tupel - wir haben irgend eine Indexmenge {1,...n} und ordenen jedem Index ein Element aus deiner Menge B zu - genau wie Will es schon gesagt hat.
>
> So eine Videodatei ist ein Tupel von Mengen, nämlich den
> Bytes (OK, 8-Tupel wäre hier angebrachter, aber ich möchte
> auf den Mengencharakter, ein Byte sei also eine Menge B mit
> genau 256 Elementen). Für jede Komponente des
> Video-Datei-Tupels wird also genau ein Element aus der
> Menge der Bytes ausgewählt.
Wenn Du statt "Komponente" einfach "Position" oder "Positionsnummer" sagst, dann hast Du verbal ja genau die Abbildung [mm] $\{1,\ldots,n\}\rightarrow [/mm] B$ beschrieben.
>
> Jetzt überlege ich, wie ich mathematisch korrekt von diesem
> "Video-Tupel" sprechen kann.
>
> Ich könnte jetzt natürlich Tupel bilden mit (sequenz-ID,
> Byte), wobei sequenz-ID streng monoton steigt (bzw.
> inkrementiert wird).
Auch das ist nur wieder eine andere Beschreibung für o.g. Funktion.
> Dann ist meine Video-Datei also eine
> Menge dieser geordneten Paare. Allerdings habe ich dafür
> den Preis zahlen müssen, die Sequenz-ID einführen zu
> müssen. Das möchte ich aber möglichst vermeiden.
Um die Verwendung irgend einer wie auch immer gearteten Indexmenge wirst du nicht herum kommen, denn die Reihenfolge der einzelnen Bytes ist ja nicht durch die Menge B festgelegt, sondern wir brauchen irgend eine andere Menge, die uns die Anordnung der einzelnen Bytes beschreibt - und in diesem Fall bietet sich {1,...,n} doch einfach an (was einfacheres wirst Du wohl nicht finden).
>
> Von einem 4G-Tupel zu sprechen ist, wie Du sagst,
> ungewöhnlich, und hört sich selbst für mich irgendwie
> "schräg" (gewöhnungbedürftig, irgendwie falsch...) an.
s.o. - was ist denn der Unterschied zwischen einem 4-Tupel und einem 4G-Tupel?
> Ausserdem habe ich dann bei so grossen n-Tupel ein Problem,
> das vielleicht nur mal wieder an meinem fehlenden Wissen
> liegt: wie nenne ich dann das "n" - bei der Menge kann ich
> ja einfach von der Mächtigkeit sprechen, aber was ist das n
> in meinem n-Tupel?
Spontan würde ich n die Länge des Tupels nennen, aber da hab ich jetzt keinen Literaturbeleg zu...
>
> Mir ist es wichtig, eine passende Begrifflichkeit aus der
> Mengenlehre zu finden, da ich das ganze zu größeren Mengen
> vereinigen möchte ("die Menge aller Videodateien auf dieser
> Platte", "die Menge aller Platten", ...).
Es spricht ja nichts dagegen, auch eine übergeordnete Menge von unterschiedlich langen Tupeln zu bilden. In eine Menge kann man ja (fast) alles reinstecken, von den richtig fiesen Fällen, in denen das Probleme geben könnte, wirst Du bei deinen Überlegungen wohl noch verschont bleiben.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 05.08.2008 | | Autor: | rainman |
OK, ich gebe mich geschlagen ;) Immerhin war die Diskussion meinem Verständnis doch recht zuträglich: Ich wollte versuchen, ein n-Tupel mit n > 2 dergestallt zu definieren, dass mir ein "Zugriff" auf die einzelnen Komponenten möglich ist, das Gesamtkonstrukt aber dennoch nur mit Mitteln der Mengenlehre definiert wird - und ohne Hilfsobjekte einsetzen zu müssen. Nach dem bisher gelesenen und meinem gewonnenen ;) Verständnis der Mengenlehre geht das wohl in der Tat nicht.
Es wird ein Sequenz-Indikator benötigt, wobei sich in der Tat hier eine Teilmenge von [mm] \IN [/mm] anbietet. Um die Sequenz abbilden zu können, muss ich allerdings eine Ordnungsrelation verwenden. Die ist aber nun wieder ein geordnetes Paar, also ein n-Tupel. Und damit beginne ich mich im Kreise zu drehen.
Der Ausweg liegt scheinbar nun darin, das geordnete Paar nach Kuratowski auf einen Mengenbegriff zurück zu führen (also (a,b) = {{a},{a,b}}. Damit kann ich nun die Ordnungsrelation abbilden.
Nun wird mein n-Tupel allerdings Komponente eines größeren geordneten Paares, nämlich: (n-Tupel, Ordnungsrelation)
Gleichzeitig muss ich die einzelnen Komponenten des n-Tupels mit der "Sequenz-ID" versehen. Somit besteht das n-Tupel nicht mehr aus den einzelnen Werten, sondern vielmehr aus neuen geordneten Paaren, nämlich: (Sequenz-ID, Wert).
Das n-Tupel ist damit die Menge dieser Komponenten-Paare - und die Reihenfolge der Komponenten wird durch die Ordnungsrelation bestimmt.
Ist das soweit richtig (sofern es überhaupt verständlich genug ausgedrückt ist...)?
Vielen Dank,
Rainer
PS: Ich habe allerdings noch etwas Probleme mit dem Vorschlag von Hausdorff (1914): "Übrigens läßt sich ... der Begriff des geordneten Paares auf den Mengenbegriff zurückführen. Sind 1,2 zwei voneinander wie von a und b verschiedene Elemente, so hat das Paar von Paaren {{a,1},{b,2}} genau die formalen Eigenschaften des geordneten Paares (a, b), nämlich die Unvertauschbarkeit von a und b im Falle der Verschiedenheit der Elemente..."
Hier wird eine Ordnungsrelation implizit vorausgesetzt?
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Die Konzepte von Hausdorff und Kuratowski, die Begriffe
"Paar","Tripel","n-Tupel" rein mit Mitteln der Mengenlehre
zu beschreiben, in allen Ehren. Im Rahmen der Theorie
haben sie durchaus ihre Berechtigung.
Für die praktische Anwendung etwa zur Darstellung
riesiger Datenfiles sind diese aber keinesfalls brauchbar.
Eine Suchmaschine aufgrund eines rein mengentheoretischen
Modells - und mit der heute verfügbaren Hardware in riesigen
Mengen - würde länger als ein Weltalter suchen, um das zu leisten,
was wir im Bruchteil einer Sekunde haben können...
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:02 Di 05.08.2008 | | Autor: | rainman |
Hallo,
danke für den Hinweis, aber mir geht es gerade um den Theoretischen Ansatz. Ich habe die Datei nur verwendet, weil sie ein griffiges Beispiel ist.
Meine Motivation hinter dieser Fragestellung ist zweiteilig: zum Ersten möchte ich ein sicheres (theoretisches) Verständnis der Struktur von Mengen und Tupeln erlangen. Daher versuche ich, die Struktur von Tupeln nur mit Begriffen der Mengenlehre zu beschreiben.
Eine "praktische" Anwendung spielt unterschwelig mit (aber wirklich nur Unterschwelig): ich bin gerade dabei, meine theoretische Sichtweise eines "Ereignisses" auf ein solides Fundament zu stellen. (Ereignis hier im Sinne von Computer-Auditierung etc benutzt). Ich beschäftige mich mit dem Thema seit Jahren und weiss praktisch, und eigentlich auch theoretisch, recht genau, womit ich da umgehe. Ich denke, dass ich einige Anwendungsszenarien besser beschreiben kann, wenn mir eine saubere Definition im Rahmen der Mengenlehre gelingt. Ich kann den Fall hier aber nicht komplett aufzeigen, da es den Rahmen dramatisch sprengen würde (da kommen so einige Seiten zusammen...).
Aber um die "Anwendung" herauszugreifen die zu der Frage hier geführt hat: auf einer mittleren Verdichtungsebene gibt es Ereignisströme. Das sind im Endeffekt geordnete Mengen (von vielfach geschachtelten Mengen), die zwischen zwei Partnern fliessen. Ich war zunächst der Ansicht, dass das eigentlich endlich grosse, aber riesige, Tupel sind. Mittlerweile (dank dem Thread und ein bisschen eigenem Denken) meine ich aber, dass es in Wirklichkeit (doch) Mengen sind (die eben wiederum Mengen als Elemente besitzen). Jede dieser Elementmengen verfügt wieder über Mengen von Eigenschaften (geordnete Paare). Die Mächtigkeit der Elementmenge hängt davon ab, wie oft sie transformiert wurde. Ihre Eigenschaftsmengen können prinzipiell in orginäre und abgeleitete Eigenschaftsmengen unterteilt werden, wobei vor allem letztere von der Anzahl der Transformationen abhängen. Die Elementmengen unterliegen einer natürlichen Sequenz innerhalb des Ereignisstromes. Die wollte ich greifen. Allerdings stellt es sich bei genauerer Betrachtung so dar, dass diese natürlich Sequenz eher ein Element einer spezifischen abgeleiteten Eigenschaftsmenge ist (und insofern je nach betrachteter Transformation unterschiedlich sein kann, was auch der Praxis entspricht). Über diese wird dann letztlich die Ordnungsrelation gebildet.
Ich befürchte, die Erklärung trägt jetzt nicht wirklich zur Erhellung bei, aber ich habe es zumindest mal versucht ;). Wichtig ist von daher aber in der Tat der theoretische Aspekt und weniger die praktische Anwendung (wenn man solche als konkretes Programm begreift).
So... bleibt die Frage: waren meine in der vorherigen Frage aufgestellten Behauptungen denn korrekt?
Vielen Dank nochmal und beste Grüße,
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Sa 09.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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