gerade bzw. ungerade Funktione < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 So 02.11.2008 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen sind gerade bzw. ungerade:
[mm] \bruch{x+2 x^5}{1+x^2}
[/mm]
e^2x
ln(x)
ln[max(x,-x)]
|x|
[mm] sin^3(x)*cos(x)
[/mm]
x*sin(x)
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Ich möchte hier auch gleich meine Vorgehensweise und meine Lösungsansätze mitposten:
laut meinem Skriptum wird eine Funktion als gerade bezeichnet wenn:
f(x) = f(-x)
eine Funktion wird als ungerade bezeichnet wenn
f(-x) = -f(x)
bei ln[max(x; -x)] ist es relativ einfach
Ich gehe davon aus, dass die Funktion symmetrisch um die y Achse also gerade ist:
ich probiere zu zeigen f(-x) = f(x)
f(-x) = ln[max(-x;x)] = f(x)
wie gehe ich bei e^2x vor?
e^2x = [mm] e^2 [/mm] * [mm] e^x [/mm]
f(-x) = e^-x * [mm] e^2 [/mm]
-f(x) = [mm] -(e^x [/mm] * [mm] e^2) [/mm]
Wie sehe ich, dass hier f(-x) = -f(x) ist? Ich kann weder zeigen, dass e^2x gerade ist, noch das es ungerade ist.
bei ln(x)
die Funktion ln kann man nur von positiven Zahlen bestimmen, deshalb ist es unmöglich f(x) = f(-x) zu zeigen. Kann ich daraus schließen, dass die Funktion ungerade ist?
bei [mm] \bruch{x+2 x^5}{1+x^2}
[/mm]
-f(x)= [mm] -(\bruch{x+2 x^5}{1+x^2})=\bruch{-x-2 x^5}{1+x^2}
[/mm]
[mm] f(-x)=\bruch{-x-2 x^5}{1+x^2}
[/mm]
daraus folgt --> Funktion ungerade
x*sin(x)
ich versuche zu zeigen, dass die Funktion gerade ist
f(-x)= -x*sin(-x)
-f(x)= -x*sin(x)
da sin(x) = -sin(x) stimmt diese Annahme
[mm] sin^3(x)*cos(x)
[/mm]
Hier versuche ich zu zeigen, dass f(-x) = -f(x) ist, diese Annahme treffe ich aufgrund des [mm] sin^3
[/mm]
f(-x) = -f(x)
[mm] sin^3(-x)*cos(-x)= (-1)*sin^3(x)*cos(x)
[/mm]
Wie kann ich zeigen, dass diese Annahme stimmt? Ich sehe es wenn ich die Funktionen im MathCAD eingebe, aber wie kann ich das mathematisch beschreiben?
Vielen Dank für die Bemühungen im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Deine Argumente sind eigentlich alle OK. Aber bei [mm] e^{2x} [/mm] und [mm] \log(x) [/mm] solltest du überlegen, ob eine Funktion IMMER grade oder ungrade ist. Speziell hast du bereits geschrieben, daß der log nur für x>0 definiert ist, demnach ist es ja schon unmöglich, Werte rechts und links der y-Achse zu vergleichen. Die e-Funktion kannst du auch mal zeichnen lassen, dann siehst du es.
Zu dem sin/cos:
Du weißt bereits, daß der COS grade ist, und der SIN ungrade. Jetzt ein Trick:
GRADE mal GRADE ist GRADE,
UNGRADE mal GRADE...
Na, kommt dir das bekannt vor?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 02.11.2008 | | Autor: | martin7 |
Danke erstmal für die Hilfe!
Mir leuchtet alles ein bis auf das mit der e bzw. ln Funktion
e^2x ist für Werte knapp unter 0 das erste Mal positiv und steigt dann eben exponential, kann ich so begründen, dass die Funktion weder gerade noch ungerade ist? Reicht das aus als Begründung? Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste diese Aussage sowohl für ln als auch für e^2x gültig sein.
Lg
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 02.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt, dass
[mm] \log(-x)\ne-\log(x) [/mm] (also ist [mm] \log(x) [/mm] nicht ungerade)
Und [mm] \log(-x)\ne\log(x) [/mm] (also ist [mm] \log(x) [/mm] nicht gerade)
Ähnliches gilt für [mm] e^{2x}
[/mm]
Aber:
[mm] e^{x²} [/mm] wäre z.B. Gerade
Marius
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